Der er for få eller ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem. Du kan hjælpe ved at angive troværdige kilder til de påstande, som fremføres i artiklen.
Her er nogle regneregler for differentiation. Det forudsættes at alle funktioner er differentiable og dermed kontinuerte for den givne definitionsmængde:
, hvor
er en konstant, har den afledede ![{\displaystyle y'(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4924377958afe07e6c1816f535df69a2f78d1c05)
- (1):
, hvor
er en konstant, har den afledede ![{\displaystyle y'(x)=k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32a8334a7693ef5d083879be3393ab134c79fa5a)
har den afledede
, og heraf
har den afledede
, undtagen for x=0
Funktioner der er sammensatte funktioner samt funktioner der er summen, differensen, produktet eller kvotienten af to differentiable funktioner er selv differentiable (med visse, åbenlyse begrænsninger i definitionsmængderne). Differentialkvotienterne kan udregnes efter følgende regler:
(kædereglen)
- (2):
(sumreglen)
(differensreglen)
(produktreglen)
, undersøges for g(x)=0
, undersøges for g(x)=0 (følger af
og
)
- Differentiation er linear. (følger af (1) og (2) )
- Sinus-funktionen
har differentialkvotienten ![{\displaystyle \sin '(x)=\cos x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9deafc503e1b9d05fda0a3b1456115ae962f1d36)
- Cosinus-funktionen
har differentialkvotienten ![{\displaystyle \cos '(x)=-\sin x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1dcec1450bc1e61e01fe3e22f23da84b100817f)
- Tangens,
, har differentialkvotienten ![{\displaystyle \tan '(x)=1+\tan ^{2}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90daf6e99dea880c82484ff93bad567c8a28762f)
- Den naturlige eksponentialfunktion,
, er pr. definition lig med sin differentialkvotient. Dvs. at konstanten e er defineret til at være det reelle tal som opfylder ligningen
.
- Eksponentialfunktionen
hvor
er en konstant, har differentialkvotient
, hvor
er den naturlige logaritmefunktion
- Den naturlige logaritme,
, har differentialkvotienten ![{\displaystyle \ln '(x)={\frac {1}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c2e1bb1dd908967c5ad9416903d39d6f9a7f9e0)
Differentialkvotienten af summen af to differentiable funktioner[redigér | rediger kildetekst]
Sumreglen lader differentialkvotienten af summen af to differentiable funktioner beregnes.
En funktion, f(x), der er givet som en sum:
har differentialkvotienten
Dvs. differentialkvotienten af summen
er lig med summen af funktionernes differentialkvotienter.
Først finder vi sekantens hældning, eller differenskvotienten:
Da f(x)=v(x)+u(x), får vi:
Ovenstående ligning kan let omskrives til følgende:
Hvis
(dvs. tilvæksten på x-aksen bliver uendelig lille), så går brøken mod grænseværdierne. Det er hermed bevist, at
![{\displaystyle Q.E.D.{\frac {}{}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1875c6031760c85953cd77e21f241e52707d059d)
Differentialkvotienten af produktet af to differentiable funktioner[redigér | rediger kildetekst]
Produktreglen lader differentialkvotienten af produktet af to differentiable funktioner beregnes.
En funktion, f(x), der er givet som et produkt:
har differentialkvotienten
Først findes sekantens hældning, eller differenskvotienten:
Hvilket, idet f(x) = v(x)u(x), bliver
Der lægges følgende til differenskvotientens tæller, hvorpå det samme trækkes fra igen. Dette giver 0, således er dette fuldt lovligt.
u(x) og v(x+dx) kan nu sættes uden for parentes, og derefter kan brøkstregen deles op:
Differentialkvotienten bliver således:
Hvilket i det generelle tilfælde er:
Der kan nu ses at dette bliver til; hvis de overordnede fire led tages grænseværdien af:
Umiddelbart ville man ikke tro at
, og dette er heller ikke fuldstændig rigtigt, dette gælder kun hvis v(x) er kontinuert. Det er hermed bevist at (kortere skrevet, "(x)" udlades):
![{\displaystyle Q.E.D.{\frac {}{}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1875c6031760c85953cd77e21f241e52707d059d)
Differentialkvotienten af brøken af to differentiable funktioner[redigér | rediger kildetekst]
Kvotientreglen lader differentialkvotienten af brøken af to differentiable funktioner beregnes.
En funktion, f(x), der er givet som en brøk:
har differentialkvotienten