Alternerende gruppe

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
Gruppeteori
Rubik's cube.svg
Gruppeteori
Endelige grupper og klassifikation af endelige simple grupper
Cyklisk gruppe Zn
Symmetrisk gruppe, Sn
Diedergruppe, Dn
Alternerende gruppe An
Mathieugrupper M11, M12, M22, M23, M24
Conwaygrupper Co1, Co2, Co3
Jankogrupper J1, J2, J3, J4
Fischergrupper F22, F23, F24
Babymonstergruppen B
Monstergruppen M

I matematikken er en alternerende gruppe en gruppe af lige permutationer på en endelig mængde. Den alternerende gruppe på mængden {1,...,n} kaldes den alternerende gruppe af grad n og benævnes An eller Alt(n).

For eksempel er den alternerende gruppe af grad 4 A4 = {e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}.

Grundlæggende egenskaber[redigér | redigér wikikode]

For n > 1 er gruppen An en normal undergruppe af den symmetriske gruppe Sn med indeks 2 og den har derfor n!/2 elementer. Den er kernen af gruppehomomorfien sgn : Sn → {1, -1}, som det forklares i artiklen om den symmetriske gruppe.

Gruppen An er abelsk hvis og kun hvis n ≤ 3 og simpel hvis og kun hvis n = 3 eller n ≥ 5. A5 er med 60 elementer den mindste ikke-abelske simple gruppe og den mindste ikke-løselige gruppe.

Konjugensklasser[redigér | redigér wikikode]

Som i den symmetriske gruppe består konjugensklasserne i An af elementer med samme cykeltype. Hvis cykeltypen består af cykler af ulige længde og ikke to cykler har samme længde, er der præcis to konjugensklasser for cykeltypen.

Eksempler:

  • permutationerne (1 2 3) og (1 3 2) er ikke konjugerede i A3, selvom de har samme cykeltype og dermed er konjugerede i S3.
  • permutationen (1 2 3)(4 5 6 7 8) er ikke konjugeret til sin inverse (1 3 2)(4 8 7 6 5) i A8, selvom de to permutation har samme cykeltype og dermed altså er konjugerede i S8

Automorfigruppen[redigér | redigér wikikode]

For alle n > 3 med undtagelse af n = 6 er automorfigruppen af An den symmetriske gruppe Sn med indre automorfigruppe An og ydre automorfigruppe Z2.

For n = 1 og n = 2 er automorfigruppen triviel. For n = 3 er automorfigruppen Z2 med triviel indre automorfigruppe og ydre automorfigruppe Z2.

Den ydre automorfigruppe af A6 er Z2. Den ekstra ydre automorfigruppe i A6 ombytter 3-cyklerne (såsom (1 2 3)) med elementer med elementer med cykeltype 3² (såsom (1 2 3)(4 5 6)).

Exceptionelle isomorfier[redigér | redigér wikikode]

Der findes enkelte isomorfier mellem nogle af de mindre alternerende grupper og mindre grupper af Lie-type. Disse følger her:

Hvad, der er mere tydeligt, er, at A3 er isomorf på den cykliske gruppe Z3, og at A1 og A2 er isomorfe på den trivielle gruppe.

Undergupper[redigér | redigér wikikode]

A4 er den mindste gruppe, der demonstrerer at det modsatte af Lagranges sætning ikke gælder generelt: Givet en gruppe, G, og et naturligt tal, d, der går op i |G|, gælder der ikke nødvendigvis at der findes en undergruppe af G med orden d: Gruppen G = A4 har ingen undergruppe af orden 6. En undergruppe med tre elementer (genereret ved cyklisk rotation af tre objekter) med yderligere et element (pånær e) genererer hele gruppen.