De Moivres formel

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

De Moivres formel, opkaldt efter Abraham de Moivre, er en matematisk formel. Den siger, at der for alle x \in \mathbb{R} og n \in \mathbb{Z} gælder, at

(\cos x + i \sin x)^n = \cos(nx) + i \sin(nx),

hvor i er den imaginære enhed, der opfylder i^2=-1. Formlen er vigtig, fordi den forbinder de komplekse tal med trigonometrien. Udtrykket "cos x + i sin x" forkortes somme tider "cis x."

Ved at skrive venstresiden ud og derefter sammenligne real- og imaginærdele, er det muligt at udlede brugbare formler for cos(nx) og sin(nx) udtrykt ved cos(x) og sin(x). Ydermere kan denne formel bruges til at finde eksplicitte udtryk for de n'te enhedsrødder; det vil sige komplekse tal z, der opfylder, at zn = 1.

Abraham de Moivre var en af Newtons gode venner; i 1698 skrev han, at Newton havde kendt til formlen så tidligt som 1676. Den kan let udledes fra (men kom historisk set før) Eulers formel eix = cos x + i sin x og eksponentialregelen (eix)n = einx (se eksponentialfunktion).

De Moivres formel er faktisk sand i en mere generel ramme end den ovenfor: hvis z og w er komplekse tal, så er (cos z + i sin z)w en funktion af flere værdier, mens cos (wz) + i sin (wz) ikke er, og der gælder, at

cos (wz) + i sin (wz) er én værdi af (cos z + i sin z)w.