Eksponentiel vækst

Sammenskrivningsforslag Denne artikel er foreslået skrevet ind i artiklen Eksponentialfunktion.   (Diskutér forslaget). Hvis sammenskrivningen sker, skal det fremgå af beskrivelsesfeltet, at sammenskrivningen er sket (hvorfra og hvortil) eller af artiklens diskussionsside

Den ekspotentielle vækst er en måde, hvorpå en mængde kan forøges eller formindskes. Dette er f.eks. formeringen af bakterier eller henfald af radioaktive stoffer. Renters rente er også et eksempel på en ekspotentiel vækst.

Matematisk udformning

En eksponentiel vækst (også kaldt procentuel vækst) kan skrives på formen $f(x)=b \cdot a^x$, En eksponentiel vækst vil danne en ret linje på enkeltlogaritmisk papir.

Kendes to punkter $A(x_1,y_1)$ og $B(x_2,y_2)$ kan konstanten $a$ findes ved formlen: $a = \sqrt[x_2 - x_1]{\frac{y_2}{y_1}}$

$b$ kan herefter findes ud fra $A$ eller $B$: $b = \frac{y_1}{a^{x_{1}}}$ eller $b = \frac{y_2}{a^{x_2}}$

Betydning

Som et eksempel kigges på formeringen af bakterier. Start med fem bakterier og antag at en bakterie deler sig en gang i minuttet. Til starten, dvs. ved tiden $t = 0$ haves altså 5 bakterier. Efter et minut haves 10. Efter to minutter 20. Snart 40... Snart 80... 160... 320... osv. Det er rimelig tydeligt, at denne talrække vil vokse meget hurtigt. Man siger, at den vokser ekspotentielt. Matematisk set vil det omtalte eksempel have formlen $f(x) = 5 \cdot 2^x$, hvor f(x) er antal bakterier og x betegner tiden i minutter. Efter f.eks. 10 minutter vil der altså være $f(10) = 5 \cdot 2^{10} = 5120$ bakterier.

Et andet eksempel omhandler en læge, der lovede at kurere en prinsessen mod et hvis antal stykker strå. Lykkedes det ham, ville han have så meget hø, som der kunne lægges på et skakbræt efter følgende system: På det første felt lægges 1 strå, på det næste 2, herefter 4 og så 8. Altså strå på formen: $f(x) = 2^{x-1}$. Kongen synes, at dette lød fair, og gik med til aftalen. Det lykkedes lægen at kurere prinsessen, men snart fandt kongen ud af, at der ikke engang findes nok strå til at dække skakbrættet i hele verden, derfor lod han lægen henrettes. Men hvor meget strå drejer det sig om? Lad os se: Et skakbræt har $8 \cdot 8 = 64$ felter. Altså fås: $f(64) = 2^{64-1} = 9,223372037\cdot10^{18}$ i det sidste felt på brættet. Antallet af strå i alt vil altså blive $f(64)+f(63)+f(62)... ...f(3)+f(2)+f(1)$. Altså et meget stort tal.

Væksthastighed

Som det kan ses i ovenstående eksempler vokser ekspotentielle funktioner meget hurtigt. Det er en kendt regel, at de vokser hurtigere end potentielle funktioner. Deres vækst hastighed fås ved differentiering: $\frac{d}{dx}(b \cdot a^x) = b \cdot ln(a) \cdot a^x$ Altså: En ekspotentiel funktions væksthastighed er i sig selv en ekspotentiel funktion. Faktisk vokser hastigheden hurtigere end selve funktionen, grundet det ekstra led $ln(a)$. Og faktisk vokser accelerationen af denne endnu hurtigere, idet: $\frac{d}{dx}(b \cdot ln(a) \cdot a^x) = b \cdot ln(a)^2 \cdot a^x$

En potentiel udvikling vokser ikke ligeså hurtigt. Dette ses tydeligt, idet: $\frac{d}{dx}(b \cdot x^a) = b \cdot a \cdot x^{a-1}$

Og fortsat:$\frac{d}{dx}(b \cdot x^a) = b \cdot a \cdot (a-1) \cdot x^{a-2}$

Er funktionen et polynominum fås snart en konstant: $b \cdot a!$, som ved næste differentiering bliver væk.