Ellipse (geometri)

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
Disambig bordered fade.svg For alternative betydninger, se ellipse (flertydig).

En ellipse er en plan kurve. Den kan populært sagt beskrives som en cirkel der er blevet "mast flad". Mere præcist er den det geometriske sted for de punkter, hvorfra summen af afstandene til to såkaldte brændpunkter er konstant.

Ellipsen er et af de fire såkaldte keglesnit: Hvis man skærer en kegle med en plan i en vis skrå vinkel, bliver skæringskurven en ellipse.

Ophavsmanden til betegnelsen ellipse er Apollonius.

Linjer og punkter i og omkring en ellipse[redigér | redigér wikikode]

Linjer og punkteri og omkring en ellipse. De nummererede detaljer er forklaret i teksten.

Visse linjer og punkter spiller en særlig rolle for ellipsen, og har således fået entydige navne:

  1. Brændpunkter: Disse kan siges at være for ellipsen, hvad centrum er for en cirkel.
  2. Brændstråler: Linjer fra brændpunkterne (1) til et vilkårligt punkt på ellipsen. Uanset hvilket punkt på ellipsen man vælger, vil summen af brændstrålernes længder være lig med storaksens (5) længde.
  3. Lilleaksen: Spænder over ellipsen midt mellem brændpunkterne, vinkelret på storaksen.
  4. Parameter: Det linjestykke der skærer storaksen (5) vinkelret gennem et af brændpunkterne (1), og afgrænses af ellipsekurven.
  5. Storaksen: Spænder over ellipsen på det sted hvor den er bredest, og afgrænses af de to toppunkter (7)
  6. Tangent: En linje der netop berører ellipsen i ét punkt. Tangenten halverer den udvendige vinkel mellem brændstrålerne i tangentens røringspunkt.
  7. Toppunkter: Markerer enderne af storaksen, samt de punkter på ellipsen hvor krumningen er størst.

Ligninger og beregninger for en ellipse[redigér | redigér wikikode]

I beregninger og ligninger vedrørende ellipser bruger man ofte tallene a og b for hhv. halvdelen af storaksens og lilleaksens længde. Således gælder bl.a. at ellipsens areal A er givet ved:
A = \pi \cdot a \cdot b

Længden p af parameteren (nr. 4 på tegningen) er givet ved:
p = 2 \cdot \frac{b^2}{a}

Excentricitet[redigér | redigér wikikode]

For enhver ellipse kan man fastslå en størrelse e kaldet ellipsens excentricitet: Den er lig med afstanden mellem brændpunkterne divideret med hele storaksens længde. Excentriciteten er for en ellipse altid mellem 0 og 1, hvor 0 svarer til en cirkel, mens værdier nær ved 1 svarer til meget smalle og langstrakte ellipser. Man kan også beregne excentriciteten ud fra den halve stor- og lilleakse som:
e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}

Ellipser i et koordinatsystem[redigér | redigér wikikode]

Hvis en ellipse indtegnes i et koordinatsystem sådan at ellipsens akser er parallelle med koordinatsystemets akser, kan man opstille ligninger der tilfredsstilles af koordinaterne til punkter (x,y) på ellipsekurven:

Hvis ellipseakserne falder sammen med koordinatsystemets akser gælder:
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
hvor a og b er halvdelen af hhv. stor- og lilleaksens længde.

Man kan beskrive samme ellipse ud fra den halve storakse a og excentriciteten e som: y^2 = (1-e^2) \cdot (a^2-x^2)

For en ellipse hvis akser er parallelle med koordinatsystemets akser, men hvor ellipseakserne skærer hinanden i et punkt (x_0,y_0), gælder:
\frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1

De fire konstanter for en ellipse (den halve storakses længde a, den halve lilleakses længde b, excentriciteten e og parameterens længde p) kan sammenfattes i ellipsens såkaldte konstantligning:
1 - e^2 = \frac{b^2}{a^2} = \frac{p}{2 \cdot a}

Ellipsen i fysikken[redigér | redigér wikikode]

Hvis man forestiller sig at indersiden af ellipsekurven er en spejlblank overflade, og anbringer en lyskilde i det ene brændpunkt, så vil alle lysstråler fra kilden blive kastet tilbage mod det andet brændpunkt. Og eftersom ellipser er de eneste geometriske kurver der har denne egenskab, kan denne beskrivelse bruges som en alternativ definition på hvad en ellipse er.

Denne egenskab bruges i det apparat, som bruges til fjernelse af nyresten. Der er en ultralydskilde i en ellipsoides ene brændpunkt, og afstanden justeres, så nyrestenen er i det andet. Den koncentrerede ultralyd knuser nyrestenen.

Johannes Kepler opdagede at himmellegemer i lukkede kredsløb om hinanden følger ellipseformede baner – dette er den første af Keplers tre love. Se også Himmelmekanik.

Se også[redigér | redigér wikikode]


Commons-logo.svg
Wikimedia Commons har medier relateret til: