Funktion (matematik)

En funktion er i matematisk forstand et redskab, der beskriver sammenhængen mellem en såkaldt afhængig variabel og en anden, såkaldt uafhængig variabel. Et hverdagseksempel på en funktion, er sammenhængen mellem hvor meget man bruger sin telefon i løbet af en måned, og hvad man betaler for det: Her er den forbrugte taletid den uafhængige variabel, mens prisen er den afhængige variabel – »afhængig« fordi den afhænger af forbruget.

Funktioner er specialtilfælde af det matematiske begreb relation (eller afbildning): Det særlige ved en funktion er, at der til en bestemt værdi af den uafhængige variabel hører én og kun én værdi for den afhængige variabel – andre relationer "har lov til" at knytte mere end én værdi for den afhængige variabel, til hver mulig værdi af den uafhængige variabel. Set i forhold til eksemplet med telefonen betyder det, at der kun er knyttet én pris (værdi af den afhængige variabel) til et bestemt forbrug (værdi af den uafhængige variabel); hvis man brugte den samme mængde taletid i løbet af hver måned, ville man få en telefonregning på det samme beløb måned efter måned (her ses bort fra udlands-takster, prisændringer m.v.).

Notation

Kalder man den uafhængige variabel for x og den afhængige for y, skrives en funktion helt kort som

y = f(x)

Denne notation blev første gang brugt af matematikeren Leonhard Euler. Bogstaverne x og y skal blot betragtes som "pladsholdere" for tal, mens f er et "navn", der gør det muligt at kende flere funktioner fra hinanden; navnet kan være et eller flere bogstaver. Nogle funktioner har "vedtagne" navne (som f.eks. cos for cosinus) I mere generelle situationer, f.eks. opgaver og eksempler i lærebøger, bruges oftest f, g, h osv., på samme måde som generelle eksempler på ligninger traditionelt bruger bogstavet x for den ubekendte størrelse.

Forskrift

Den nøjere sammenhæng mellem den uafhængige og afhængige variabel kan være givet ved det der kaldes funktionens forskrift: Det er regneudtryk, der direkte beregner værdien af den afhængige variabel ud fra en given værdi af den uafhængige. Hvis telefonen i ovenstående eksempel koster 25 kr. om måneden i abonnement, plus 50 øre (½ krone) pr. samtaleminut, kan man opstille en forskrift for en funktion f, der beregner den månedlige telefonregning:

f(x) = ½·x + 25

Her står x for det antal minutter man har talt i telefon i en given måned: Hvis man erstatter x'et i regneudtrykket til højre for lighedstegnet med antallet af samtaleminutter, får man et ganske almindeligt regnestykke – resultatet af det regnestykke er det beløb der står på telefonregningen for den måned.

Definitions- og værdimængde

For en given funktion findes der to mængder med særlig relevans: Definitionsmængden til en funktion f, der ofte skrives som Dm(f), og værdimængden til f, der tilsvarende skrives som Vm(f). Funktionen f siges at være "defineret på mængden Dm(f)".

Definitionsmængde

Definitionsmængden til en funktion er mængden af samtlige de værdier for den uafhængige variabel x, som kan bruges med den pågældende funktion. I ovenstående eksempel med telefonregningen giver det ikke mening at bruge negative tal for antallet af samtaleminutter x – fordi man, sagt på "ikke-matematisk", jo ikke kan føre en samtale på f.eks. minus fem minutter! Af den grund må man forlange, at x ikke er et negativt tal, når man bruger telefonregnings-funktionen f; det udtrykker man matematisk ved at sige, at definitionsmængden til f er alle reelle tal større end eller lig med nul.

I dette tilfælde skyldes begrænsningen, at visse tal ikke giver mening i forhold til den virkelighed, funktionen bruges til at regne på: Selv om man ikke kan tale i telefon i minus fem minutter, er der ikke nogen rent matematiske hindringer for at erstatte x med −5 i føromtalte forskrift for funktionen f. I andre tilfælde er der matematiske grunde til, at visse værdier af den uafhængige variabel ikke kan være medlem af værdimængden, for eksempel:

$g(x)={\frac {1}{x}}$

Her går det galt hvis man erstatter x i forskriften med nul, fordi man ender med at skulle dividere med nul. Derfor må definitionsmængden Dm(g) som minimum udelukke tallet nul – og hvis funktionen g skal bruges til at regne på noget fra virkelighedens verden, kan der som i tilfældet med telefonregningen også være "ikke-matematiske" grunde til også at udelukke visse andre værdier fra definitionsmængden.

Værdimængde

Værdimængden til en funktion er mængden af samtlige værdier som den afhængige variabel kan antage for den funktion. I eksemplet med telefonregningen betaler man som minimum et vist beløb (det faste abonnement) hver måned for at have telefonen – uanset hvor meget eller lidt man bruger telefonen, kommer regningerne aldrig ned under denne minimumsgrænse. I matematikkens sprog hedder det, at værdimængden Vm(f) til telefonregnings-funktionen f bliver alle reelle tal, der er større end eller lig med abonnementsprisen.

Som for definitionsmængden kan der også være matematiske årsager til, at visse tal ikke optræder i en funktions værdimængde. I tilfældet med $g(x)={\frac {1}{x}}$ findes der ikke noget tal x, som i den viste forskrift giver resultatet nul – af den grund hører nul ikke til værdimængden for funktionen g.

Monotoni

Visse funktioner, som eksemplet med f(x) = ½·x + 25, har den egenskab, at uanset hvilken værdi man vælger for den uafhængige variabel x, så vil en lille stigning i x's værdi medføre en stigning i den afhængige størrelse y = f(x): Sådan en funktion siges at være monotont voksende – »monotont« eftersom den afhængige variabel aldrig "laver andet" end at stige, uanset hvilken værdi af den uafhængige variabel x man går ud fra.
Med andre funktioner, f.eks. y = g(x) = 1/x vil y konsekvent falde hvis man forøger x en kende: Sådanne funktioner omtaler matematikerne tilsvarende som monotont aftagende. Atter andre funktioner, som f.eks. sinus og cosinus er voksende indenfor bestemte intervaller for x, og aftagende når x falder imellem disse intervaller.

I forbindelse med funktionsanalyse gør man ofte rede for i hvilke intervaller den analyserede funktion er hhv. voksende og aftagende; denne redegørelse kaldes almindeligvis for funktionens monotoniforhold. Disse monotoniforhold bestemmes ofte ved hjælp af differentialregning. Da en differentieret funktion (den afledede funktion), kan vise hvorvidt den oprindelige funktion er voksende, konstant eller aftagende.

Graf for en funktion

Eksempel på graf for en funktion, i dette tilfælde f(x) = x&sup3

Ofte kan man skabe et hurtigt, visuelt overblik over en funktion, ved at tegne en graf (ofte kaldet en kurve) over, hvordan den afhængige variabel udvikler sig hen over et interval.

Til højre er vist et eksempel på en graf, i dette tilfælde over en funktion f(x) = x³ Her kan man med et enkelt blik se hvordan den afhængige variabel generelt stiger ret kraftigt – undtagen i området omkring x=0, hvor "væksten" tilsyneladende tager en kort "pause".

Invers funktion

Hvis en funktion f(x) har samme monotoni (enten voksende eller aftagende) i hele sin definitionsmængde, findes der en såkaldt invers eller omvendt funktion til den pågældende funktion, som skrives f ^-1(x): Denne inverse funktion kan tage imod et tal der er beregnet med f(x), og så at sige "regne baglæns" for at finde tilbage til x: Hvis f(3) = 12, så vil f ^-1(12) være lig med 3 eller hvis f(x)=x² så er f ^-1(x)=√x
Heraf ses, at det der er definitionsmængden til f, bliver værdimængden til f ^-1, mens værdimængden af f er f ^-1's definitionsmængde. Altså:
Dm(f) = Vm(f ^-1), og Vm(f) = Dm(f ^-1).

Hvis en funktion ikke har samme monotoni i hele sin definitionsmængde, f.eks. sinus, kan man i "streng" matematisk forstand ikke uden videre indføre dens inverse funktion, fordi én værdi af x vil kunne give mere end én funktionsværdi. Men da det er praktisk at kunne "regne baglæns" og finde det x der giver en vis værdi af sin(x), har man alligevel indført den inverse funktion sin ^-1(x). Hvis man afgrænser definitionsmængden til sinus-funktionen til intervallet indenfor ±90° eller ±π/2 radianer, er sinus monotont voksende, og for sinus i dette interval kan man således tale om en invers funktion.

Regning med funktioner

Når f og g er funktioner med samme (eller i det mindste overlappende) definitionsmængder kan man indføre nye funktioner f+g, f-g, f·g og f/g ved punktvise operationer. Det vil sige at de nye funktioner er defineret ved

• (f+g)(x) = f(x) + g(x)
• (f−g)(x) = f(x) − g(x)
• (f·g)(x) = f(x)·g(x)
• (f/g)(x) = f(x)/g(x)

Bemærk den sidste funktion: Hvis 0 er medlem af g's definitionsmængde Dm(g), vil der være en eller flere værdier for x, som "tvinger" (f/g)(x) til at dividere med nul. Som i eksemplet med $g(x)={\frac {1}{x}}$ vil der her være nogle værdier for x, for hvilke (f/g)(x) ikke er defineret – værdier der således ikke indgår i Dm(f/g).

Særlig agtpågivenhed må udvises når skrivemåder som f³ anvendes, altså potenser af en funktion. Notationen kan nemlig fortolkes på to måder: enten som punktvis multiplikation (som ovenfor) eller som funktionssammensætning (se dette). Eksplicit kan f³ betyde

• $f^{3}(x)=(f\cdot f\cdot f)(x)=f(x)\cdot f(x)\cdot f(x)=(f(x))^{3}$

eller

• $f^{3}(x)=(f\circ f\circ f)(x)=f(f(f(x)))$

Hvilken betydning der er relevant, må forstås af sammenhængen.

Særlige funktioner

I det følgende nævnes en række funktioner og kategorier af funktioner, som behandles i særskilte artikler:

• Trigonometriske funktioner, herunder sinus, cosinus og tangens.
• Logaritmer
• Polynomier
• Potensfunktioner og eksponentialfunktioner

Se også

• Homomorfi
• Sammensat funktion
• Vektorfunktion

Wikimedia Commons har medier relateret til: Funktion (matematik)