Gabriels horn

Gabriels horn (eller Torricellis trumpet) er en matematisk figur med et endeligt rumfang, men uendeligt overfladeareal. Den blev opfundet af Evangelista Torricelli. Navnet referer til Ærkeenglen Gabriel, der efter sigende skulle blæse i hornet ved Dommedag, hvorved det guddommelige forbindes med det uendelige.

Illustration af den venstre ende af Gabriels Horn

Matematisk

Gabriels horn er den figur der fremkommer, når man drejer grafen for $y= \frac {1}{x}$ for $x \ge {1}$ 360 grader omkring x-aksen. Ved brug af infinitesimalregning kan rumfanget og overfladearealet beregnes:

$V(a) = \pi \int_{1}^{a} {1 \over x^2}\mathrm{d}x = \pi \left( 1 - {1 \over a} \right)$

$A(a) = 2\pi \int_1^a \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^4}}}{x}\mathrm{d}x > 2\pi \int_1^a \frac{\sqrt{1}}{x}\ \mathrm{d}x = 2\pi \ln a$

a kan være et hvilket som helst tal $\ge {1}$. For a gående mod uendelig vil rumfanget nærme sig $\pi$, mens overfladearealet går mod uendelig:

$\lim_{a \to \infty}V(a)=\lim_{a \to \infty}\pi \left( 1 - {1 \over a} \right) = \pi$

Overfladearealet vil ved store værdier af a blive uendelig stor:

$\lim_{a \to \infty}A(a)=\lim_{a \to \infty}2 \pi \ln a =\infty$