Gelfand-Naimark-Segal-konstruktionen

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

GNS-konstruktionen er et af funktionalanalysens fundamentale resultater, og det er essentielt for den algebraiske tilgang til kvantefeltteori. For en C*-algebra A, findes der ifølge Gelfand–Naimark–Segal konstruktionen en sammenhæng mellem cykliske *-repræsentationer af A og visse lineære funktionalerA (kaldet tilstande). Givet en tilstand kan *-repræsentationen eksplicit konstrueres. Selve proceduren kaldes GNS-konstruktionen og er navngivet efter de tre matematikere Israel Gelfand, Mark Naimark og Irving Segal.

Tilstande og repræsentationer[redigér | redigér wikikode]

I det følgende er A en unital C*-algebra. En lineær funktional φ: A → ℂ er positiv hvis φ(a) ≥ 0 for alle positive elementer i A. Funktionalen φ kaldes en tilstand dersom φ er positiv (φ ≥ 0) og φ(1) = 1. Denne terminologi har sin oprindelse fra forbindelsen mellem C*-algebraer og kvantefysik.

En *-repræsentation af en (unital) C*-algebra A på et Hilbertrum H er en (unital) *-homomorfi π fra A til algebraen af begrænsede operatorerH

\pi: A \rightarrow \mathcal{B}(H)

Repræsentationen π kaldes tro, hvis den er injektiv.

GNS-par[redigér | redigér wikikode]

Lad φ være en positiv lineær funktional på A. Et GNS-par for (A,φ) er da et par (π,ξ) bestående af en repræsentation π af A på et Hilbertrum H og en vektor ξ∈ H således at

  1. \overline{\pi(A)}\xi=H (cyklisk)
  2. \phi(a)=\langle \pi(a)\xi, \xi \rangle for alle a∈A

For et par (π,ξ), der opfylder den første betingelse kaldes ξ en cyklisk vektor og π en cyklisk repræsentation.

To GNS-par (π,ξ) og (π',ξ') siges at være ækvivalente hvis der findes en unitær operator W: HH' således at Wξ = ξ' og Wπ(a) = π'(a)W for a∈A.

Bemærk: Vi har defineret det indre produkt, så det er lineært i første argument og anti-lineært i andet argument. I fysik-litteraturen defineres det oftest modsat.

GNS-konstruktionen[redigér | redigér wikikode]

Lad π være en *-repræsentation af en C*-algebra A på et Hilbertrum H med cyklisk vektor ξ med enhedsnorm. Så er

 x \mapsto \langle  \pi(x)\xi, x\xi\rangle

en tilstand på A. Implikationen gælder begge veje: Enhver tilstand på en C*-algebra er på formen givet ovenfor. Det er et resultat af GNS-konstruktionen:

Teorem. For alle positive funktionaler på en unital C*-algebra A, findes der et GNS-par, dvs. en 
        *-repræsentation π og en cyklisk vektor ξ, og det er entydigt op til ækvivalens. 

Konstruktionen er som følger: Via tilstanden φ kan vi definere et præ-indre produkt, givet ved

 \langle x, y \rangle =\rho(y^*x).

Det er et præ-indre produkt, da  \langle x, x \rangle =0 kan ske uden at x = 0. Det kan vises at det præ-indre produkt opfylder Cauchy–Schwarz uligheden. Det tillader os at vise at vektor underrummet defineret ved

N=\{x\in A | \phi(x^*x)=0\}

er et venstre-ideal i A.

kvotientrummet af A med vektor underrummet N er det præ-indre produkt et ægte indre produkt. Ved Cauchy completion af A/N i kvotientnormen fås et Hilbertrum H. Den cykliske vektor i H er da givet ved ækvivalensklassen 1, dvs. ξ=[1].

Vi mangler at konstruere π. Tag a∈A, og definér

L_a: A \rightarrow A

ved

x \mapsto ax .

Da N er et ideal, gælder der L_a: N\rightarrow N, og der induceres en operator

\overline{L_a}: A/N \rightarrow A/N

ved

[x] \mapsto [ax] .

Det kan vises at \overline{L_a} er begrænset, og derfor kontinuert. Den kan derfor entydigt udvides til en operator \pi(a): H\rightarrow H. Det er klart at π er en algebra-homomofi, og at π er *-bevarende ses ved at bemærke at

\langle \pi(a)\eta, \zeta \rangle=\langle \eta, \pi(a^*)\zeta \rangle,

hvor η = [x} og ζ = [y]. Ved at skrive begge sider ud fås φ(y*ax). Med andre ord er π(a)* = π(a*).

Tilsammen udgør (π,ξ) et GNS-par for φ, idet:

\pi(A)\xi=\pi(A)(1+N)=\{a+N | a\in A\}

som tydeligvis er tæt i H, og

\langle \pi(a)\xi, \xi \rangle=\langle a+N, 1+N \rangle=\phi(1^*a)=\phi(a).

For at vise at GNS-parret er entydigt, ser vi på et andet GNS-par (π',ξ') for φ. Ud fra egenskaberne for et GNS-par kan vi vise at der findes en entydig isometri W0 fra det tætte underrum π(A)ξ på π'(A)ξ' defineret ved W0: π(a)ξ ↦ π'(a)ξ', da der for alle a∈A gælder

\langle \pi(a)\xi, \pi(a)\xi \rangle=\langle \pi(a^*a)\xi, \xi \rangle=\phi(a^*a)=\langle \pi'(a)\xi', \pi'(a)\xi' \rangle.

Isometrien W0 kan entydigt udvides til en unitær operator W: HH, og det ses at Wξ = ξ' og Wπ(a) = π'(a)W på det tætte mængde af vektorer π(A)ξ⊆H. Det følger hermed at (π,ξ) og (π',ξ') er ækvivalente.

GNS-konstruktionen er en af hovedingredienserne i beviset af Gelfand–Naimark teoremet, der karakteriserer unitale C*-algebraer som C*-algebraer af operatorer på et eller andet Hilbertrum. Med andre ord, en C*-algebra har tilstrækkelig mange tilstande, således at den direkte sum af de tilsvarende GNS repræsentationer er en tro *-isomorfi.

Generalisering[redigér | redigér wikikode]

Stinespring factorization theoremet, der karakteriserer fuldstændige positive afbildninger, er en vigtig generalisering af GNS-konstruktionen.

Historie[redigér | redigér wikikode]

Gelfand og Naimarks artikel om Gelfand–Naimark teoremet blev publiceret i 1943.[1] Segal bemærkede den implicitte konstruktion i artiklen og frembragte den eksplicitte form.[2]

Segal viste i en artikel fra 1947, at det var tilstrækkeligt for et hvilket som helst fysisk system, som kan beskrives ved en algebra af operatorer på et Hilbertrum, at betragte irreducible repræsentationer af C*-algebraen. I kvanteteorier betyder dette, at C*-algebraen er genereret af observable. Dette var tidligere blevet vist af John von Neumann for den ikke-relativistiske Schrödinger-Heisenberg teori.[3]

Referencer[redigér | redigér wikikode]

Referencer i teksten
  1. I. M. Gelfand, M. A. Naimark (1943). "On the imbedding of normed rings into the ring of operators on a Hilbert space". Matematicheskii Sbornik 12 (2): 197–217. http://mi.mathnet.ru/eng/msb6155.  (also Google Books, see pp. 3–20)
  2. Richard V. Kadison: Notes on the Gelfand–Neimark theorem. In: Robert C. Doran (ed.): C*-Algebras: 1943–1993. A Fifty Year Celebration, AMS special session commemorating the first fifty years of C*-algebra theory, January 13–14, 1993, San Antonio, Texas, American Mathematical Society, pp. 21–54, ISBN 0-8218-5175-6 (available from Google Books, see pp. 21 ff.)
  3. I. E. Segal (1947). "Irreducible representations of operator algebras". Bull. Am. Math. Soc. 53: 73–88. http://www.ams.org/journals/bull/1947-53-02/S0002-9904-1947-08742-5/S0002-9904-1947-08742-5.pdf.