Hölders ulighed

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

I matematisk analyse er Hölders ulighed en fundamental ulighed, der relaterer Lp-rum, som er opkaldt efter den tyske matematiker Otto Hölder.

Lad S være et målrum, lad 1 ≤ p, q ≤ ∞ med 1/p + 1/q = 1 og lad f og g være målelige funktioner. Da gælder

\|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q.

Specielt gælder for f i Lp(S) og g i Lq(S), at fg ligger i L1(S).

Tallene p og q kaldes hinandens Hölderkonjugerede.

Hölders ulighed bruges til at vise trekantsuligheden i Lp og Minkowkis ulighed og bruges ligeledes til at opnå, at Lp og Lq er duale rum.

Hölders ulighed blev først fundet af Leonard James Rogers i 1888 og genopdaget af Hölder i 1889.

Vigtige specialtilfælde[redigér | redigér wikikode]

\sum_{k=1}^n |x_k y_k| \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q}.
  • Hvis S = N med tællemålet fås Hölders ulighed for følger i \ell^p:
 \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n \cdot y_n| \le \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^q \right)^{1/q},\; \forall x \in \ell^p, y\in \ell^q.
\left|\int f(x)g(x)\,dx\right|\leq \int \bigg| f(x)g(x)\bigg| \, dx \leq\left(\int \left|f(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p}\cdot \left(\int\left|g(x)\right|^q\,dx\right)^{1/q}.

Bevis[redigér | redigér wikikode]

Beviset for uligheden hænger på Youngs ulighed: for ikke-negative a og 1/p ∈ (0,1) med 1/p+1/q=1 gælder

a b \leq  a^p/p +  b^q/q,

og der gælder lighed hvis og kun hvis ap = bq

Hölders ulighed er triviel at vise, hvis enten f eller g har uendelig norm eller norm nul, så ved at dividere hver funktion med funktionens norm, kan det antages, at

\| f \|_p = \| g \|_q = 1.

Ved at bruge Youngs ulighed med a = |f(x)| og b = |g(x)|, fås for alle x i det pågældende målrum, at

|f(x)g(x)| \leq \frac{1}{p} |f(x)|^p + \frac{1}{q} |g(x)|^q.

Integration giver nu

\|fg\|_1 \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 = \| f \|_p\| g \|_q,

hvilket viser påstanden.