Herons formel

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Herons formel er en formel som Heron beskrev og anførte et bevis for: Den angiver arealet A af en trekant med siderne a, b og c:

A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

hvor s er trekantens halve omkreds, dvs.

s = \frac{a+b+c}{2}.

I specialtilfældet a = b = c (ligesidet trekant), fås

A = \sqrt{\frac{3a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2

i overensstemmelse med en beregning byggende på Pythagoras' læresætning.

Herons formel er et vigtigt teorem i plangeometrien. Skønt der kun indgår længder af linjestykker (ingen vinkler) i Herons formel, ville man i dag udlede den på basis af trigonometri; det er bemærkelsesværdigt at man på Herons tid kunne klare sig foruden.

Historie[redigér | redigér wikikode]

Herons beskrivelse og bevis for formlen optræder i hans bog Metrica fra omkring år 60: Dette værk er en sammenfatning af den matematiske viden som grækerne besad på hans tid, så formlen har formodentlig været kendt længe inden Metrica blev udgivet – nogen gætter endda på at Arkimedes kendte til denne formel.

Kineserne har siden udledt en anden formel med samme betydning, uafhængigt af grækerne. I Qin Jiushaos værk Shushu Jiuzhang, udgivet i 1247, optræder formlen på denne form:

A = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{a^2 \cdot c^2 - \left ( \frac{a^2+c^2-b^2}{2} \right )^2}

Bevis[redigér | redigér wikikode]

Tegning til beviset

På tegningen til højre er vist en "vilkårlig" trekant ABC, som ved hjælp af højden h er blevet delt op i to retvinklede trekanter. Denne højde deler også siden b i to dele med længderne x og b-x.

Ved at bruge Pythagoras' læresætning på de to retvinklede trekanter, får man:

For trekanten til venstre for højden:
h^2+x^2=c^2 \Leftrightarrow h^2=c^2-x^2
For trekanten til højre for højden:
h^2+(b-x)^2=a^2 \Leftrightarrow h^2=a^2-(b-x)^2

Bemærk de to udtryk til højre for dobbeltpilene; de giver to forskellige regneudtryk for samme størrelse, nemlig h^2. Derfor kan vi sætte disse to udtryk lig med hinanden, og det giver

\begin{align}
c^2-x^2&=a^2-(b-x)^2 \Leftrightarrow \\
c^2&=a^2-(b-x)^2+x^2
\end{align}

Nu er c^2 blevet isoleret på venstre side af lighedstegnet. Ved hjælp af regneregler for kvadratet på en toleddet størrelse kan udtrykket på højre side reduceres lidt:

\begin{align}
c^2&=a^2-(b-x)^2+x^2 \Leftrightarrow \\
c^2&=a^2-(b^2+x^2-2\cdot b\cdot x)+x^2 \Leftrightarrow \\
c^2&=a^2-b^2-x^2+2\cdot b\cdot x+x^2 \Leftrightarrow \\
c^2&=a^2-b^2+2\cdot b\cdot x
\end{align}

Den sidste ligning skrives nu om, så x er isoleret:

\begin{align}
c^2&=a^2-b^2+2\cdot b\cdot x \Leftrightarrow \\
-2\cdot b\cdot x &=a^2-b^2-c^2 \Leftrightarrow \\
x &=\frac{a^2-b^2-c^2}{-2\cdot b} \Leftrightarrow \\
x &=\frac{b^2+c^2-a^2}{2\cdot b}
\end{align}

For at regne videre med dette x, "skaffer" man sig et regneudtryk med denne størrelse ved at bruge Pythagoras sætning på trekanten til venstre for den indtegnede højde:

h = \sqrt{c^2-x^2}

Ved at erstatte x med det regneudtryk det blev udledt i forrige ligning, får man:

\begin{align}
h &= \sqrt{c^2-x^2} \Leftrightarrow \\
h &= \sqrt{c^2-\left ( \frac{b^2+c^2-a^2}{2\cdot b} \right )^2} \Leftrightarrow \\
h &= \sqrt{c^2-\frac{\left (b^2+c^2-a^2 \right )^2}{\left ( 2\cdot b\right )^2}}
\end{align}

For at få c^2 "bygget ind" i brøken under kvadratrodstegnet, omskrives dette led ved at multiplicere ("forlænge") det med \left (2 \cdot b \right )^2:

c^2 = \frac{c^2 \cdot \left (2 \cdot b \right )^2}{\left (2 \cdot b \right )^2} = \frac{\left (2 \cdot b \cdot c \right )^2}{\left (2 \cdot b \right )^2}

Ved at erstatte c^2 i forrige ligning med det sidste udtryk herover, kan hele udtrykket under kvadratrodstegnet skrives som én brøk:

\begin{align}
h &= \sqrt{c^2-\frac{\left (b^2+c^2-a^2 \right )^2}{\left ( 2\cdot b\right )^2}} \\
&= \sqrt{\frac{\left (2 \cdot b \cdot c \right )^2}{\left (2 \cdot b \right )^2}-\frac{\left (b^2+c^2-a^2 \right )^2}{\left ( 2\cdot b\right )^2}} \\
&= \sqrt{\frac{\left (2 \cdot b \cdot c \right )^2 - \left (b^2+c^2-a^2 \right )^2}{\left ( 2\cdot b\right )^2}} \\
&= \frac{\sqrt{\left (2 \cdot b \cdot c \right )^2 - \left (b^2+c^2-a^2 \right )^2}}{2\cdot b}
\end{align}

Udtrykket under kvadratrodstegnet består nu af differensen mellem kvadratet på to størrelser: Nu bruges reglen om at a^2-b^2=(a+b)\cdot(a-b) til at omskrive denne del af udtrykket:

\begin{align}
h &= \frac{\sqrt{\left (2 \cdot b \cdot c \right )^2 - \left (b^2+c^2-a^2 \right )^2}}{2\cdot b} \\
&= \frac{\sqrt{\big (2 \cdot b \cdot c + \left ( b^2+c^2-a^2 \right ) \big ) \cdot \big (2 \cdot b \cdot c - \left ( b^2+c^2-a^2 \right ) \big )}}{2\cdot b} \\
&= \frac{\sqrt{\left (2 \cdot b \cdot c + b^2+c^2-a^2 \right ) \cdot \left (2 \cdot b \cdot c - b^2-c^2+a^2 \right )}}{2\cdot b}
\end{align}

I den sidste linje herover er de små "parenteser i parenteser" under kvadratrodstegnet blevet hævet, så der nu står produktet af to parenteser. I den første parentes skal man bemærke 2 \cdot b \cdot c + b^2 + c^2, som per reglerne for kvadratet af toledede størrelser kan omskrives til (b + c)^2. I udtrykket for højden h kan den første parentes i brøkens tæller altså omskrives sådan her:

\begin{align}
h &= \frac{\sqrt{\left (2 \cdot b \cdot c + b^2+c^2-a^2 \right ) \cdot \left (2 \cdot b \cdot c - b^2-c^2+a^2 \right )}}{2\cdot b} \\
&= \frac{\sqrt{\big ( \left (b + c \right )^2 -a^2 \big ) \cdot \left (2 \cdot b \cdot c - b^2-c^2+a^2 \right )}}{2\cdot b}
\end{align}

Noget tilsvarende kan gøres for den sidste parentes – her skal man på grund af fortegnene i stedet udnytte at

2 \cdot b \cdot c + b^2 + c^2 = (b + c)^2 \Leftrightarrow 2 \cdot b \cdot c - c^2 - b^2 = -(c-b)^2

og så kan udtrykket for h forenkles på denne måde:

\begin{align}
h &= \frac{\sqrt{\big ( \left (b + c \right )^2 -a^2 \big ) \cdot \left (2 \cdot b \cdot c - b^2-c^2+a^2 \right )}}{2\cdot b} \\
&= \frac{\sqrt{\big ( \left (b + c \right )^2 -a^2 \big ) \cdot \big (a^2 - \left (c - b \right )^2 \big )}}{2\cdot b}
\end{align}

Nu indeholder hver parentes differensen mellem kvadratet på to tal, og kan således hver især omskrives til produktet at de to tals hhv. sum og differens:

\begin{align}
h &= \frac{\sqrt{\big ( \left (b + c \right )^2 -a^2 \big ) \cdot \big (a^2 - \left (c - b \right )^2 \big )}}{2\cdot b} \\
&= \frac{\sqrt{\big ( \left (b+c \right )+a \big )\cdot \big ( \left (b+c \right )-a \big ) \cdot \big (a+ \left (c-b \right ) \big ) \cdot \big (a - \left(c-b\right ) \big )}}{2\cdot b} \\
&= \frac{\sqrt{\left (b+c+a \right )\cdot \left (b+c-a \right ) \cdot \left (a+c-b \right ) \cdot \left ( a-c+b\right )}}{2\cdot b}
\end{align}

I sidste linje herover er de små "parenteser i parenteser" blevet hævet.

Højden h er tegnet ud fra grundlinjen b, og ud fra de to størrelser beregnes trekantens areal A som:

A=\frac{1}{2}\cdot h \cdot b

Hvis man i dette udtryk indsætter det udtryk for h ovenfor og siden reducerer udtrykket, får man:

\begin{align}
A &= \frac{1}{2}\cdot h \cdot b \\
&= \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{\left (b+c+a \right )\cdot \left (b+c-a \right ) \cdot \left (a+c-b \right ) \cdot \left ( a-c+b\right )}}{2\cdot b} \cdot b \\
&= \frac{\sqrt{\left (b+c+a \right )\cdot \left (b+c-a \right ) \cdot \left (a+c-b \right ) \cdot \left ( a-c+b\right )}}{4}
\end{align}

Den sidste del af beviset går ud på at demonstrere, at man fra Herons formel kan "regne sig tilbage" til samme udtryk for trekantens areal som ovenfor:

\begin{align}
A &= \sqrt{s \cdot \left ( s-a \right ) \cdot \left ( s-b \right ) \cdot \left ( s-c \right )} \ , \  s=\frac{a+b+c}{2} \Leftrightarrow \\
A &= \sqrt{\frac{a+b+c}{2} \cdot \left ( \frac{a+b+c}{2}-a \right ) \cdot \left ( \frac{a+b+c}{2}-b \right ) \cdot \left ( \frac{a+b+c}{2}-c \right )}
\end{align}

For at få hhv. -a, -b og -c "bygget ind" i brøkerne, skal de "forlænges" så de optræder med nævneren 2 – herefter kan udtrykket reduceres:

\begin{align}
A &= \sqrt{\frac{a+b+c}{2} \cdot \left ( \frac{a+b+c}{2}-a \right ) \cdot \left ( \frac{a+b+c}{2}-b \right ) \cdot \left ( \frac{a+b+c}{2}-c \right )}\\
&= \sqrt{\frac{a+b+c}{2} \cdot \left ( \frac{a+b+c}{2}-\frac{2\cdot a}{2} \right ) \cdot \left ( \frac{a+b+c}{2}-\frac{2\cdot b}{2} \right ) \cdot \left ( \frac{a+b+c}{2}-\frac{2\cdot c}{2} \right )}\\
&= \sqrt{\frac{a+b+c}{2} \cdot \frac{a+b+c-2 \cdot a}{2} \cdot \frac{a+b+c-2 \cdot b}{2} \cdot \frac{a+b+c-2 \cdot c}{2}}\\
&= \sqrt{\frac{a+b+c}{2} \cdot \frac{b+c-a}{2} \cdot \frac{a+c-b}{2} \cdot \frac{a+b-c}{2}}\\
&= \sqrt{\frac{ \left ( a+b+c \right ) \cdot \left ( b+c-a \right ) \cdot \left (a+c-b \right ) \cdot \left (a+b-c \right )}{16}}\\
&= \frac{\sqrt{ \left ( a+b+c \right ) \cdot \left ( b+c-a \right ) \cdot \left (a+c-b \right ) \cdot \left (a+b-c \right )}}{4}
\end{align}

Da dette udtryk essentielt er det samme som det udtryk den første del af beviset endte med, er Herons formel hermed bevist.