Indre produkt

Et indre produkt er i matematikken en funktion $f\colon V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ eller $f\colon V \times V \rightarrow \mathbb{C}$, hvor V er et reelt hhv. komplekst vektorrum, der opfylder tre betingelser. Værdien $f(\mathbf{u} , \mathbf{v} )$ skrives dog normalt $\langle \mathbf{u} , \mathbf{v} \rangle$.

Lad os først se på det reelle tilfælde, så lad i det følgende u, v, w være vilkårlige vektorer i et reelt vektorrum V, og r, s være vilkårlige reelle tal. Nu skal et indre produkt opfylde:

1. $\langle r \mathbf{u} + s \mathbf{v} , \mathbf{w} \rangle = r \langle \mathbf{u} , \mathbf{w} \rangle + s \langle \mathbf{v} , \mathbf{w} \rangle$ og $\langle \mathbf{u} , r \mathbf{v} + s \mathbf{w} \rangle = r \langle \mathbf{u} , \mathbf{v} \rangle + s \langle \mathbf{u} , \mathbf{w} \rangle$.
2. $\langle \mathbf{u} , \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{v} , \mathbf{u} \rangle$.
3. $\langle \mathbf{v} , \mathbf{v} \rangle \geq 0$ og $\langle \mathbf{v} , \mathbf{v} \rangle = 0 \Leftrightarrow \mathbf{v} = \mathbf{0}$.

Altså er et indre produkt på et reelt vektorrum en positiv definit ikke-degenereret symmetrisk bilinearform.

Et eksempel på et indre produkt, er prikproduktet på $\mathbb{R}^n$, defineret ved

$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i$,

hvor $\mathbf{u} = ( u_1 , u_2 , \dots , u_n )^T$ og $\mathbf{v} = ( v_1 , v_2 , \dots , v_n )^T$.

I det komplekse tilfælde er reglerne lidt anderledes. Lad nu u, v, w være vilkårlige vektorer i et komplekst vektorrum V, og z, w være vilkårlige komplekse tal. Nu skal et indre produkt opfylde:

1. $\langle z\mathbf{u} + w\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle = z\langle\mathbf{u}, \mathbf{w}\rangle + w\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle$ og $\langle\mathbf{u}, z\mathbf{v} + w\mathbf{w}\rangle = \overline{z}\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle + \overline{w}\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle$.
2. $\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = \overline{\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle}$.
3. $\langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle \geq 0$ og $\langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle = 0 \Leftrightarrow \mathbf{v} = \mathbf{0}$.

Anden del af 1. er ofte udeladt af definitionen, da det følger af 2.

Et vektorrum med et indre produkt, kaldes et indre produkt-rum.

Stub Denne artikel om matematik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet, kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den.