Indre produkt

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Et indre produkt er i matematikken en funktion  f\colon  V \times V \rightarrow \mathbb{R} eller  f\colon V \times V \rightarrow \mathbb{C} , hvor V er et reelt hhv. komplekst vektorrum, der opfylder tre betingelser. Værdien  f(\mathbf{u} , \mathbf{v} ) skrives dog normalt  \langle \mathbf{u} , \mathbf{v} \rangle .

Lad os først se på det reelle tilfælde, så lad i det følgende u, v, w være vilkårlige vektorer i et reelt vektorrum V, og r, s være vilkårlige reelle tal. Nu skal et indre produkt opfylde:

  1.  \langle r \mathbf{u} + s \mathbf{v} , \mathbf{w} \rangle = r \langle \mathbf{u} , \mathbf{w} \rangle + s \langle \mathbf{v} , \mathbf{w} \rangle og  \langle \mathbf{u} , r \mathbf{v} + s \mathbf{w} \rangle = r \langle \mathbf{u} , \mathbf{v} \rangle + s \langle \mathbf{u} , \mathbf{w} \rangle .
  2.  \langle \mathbf{u} , \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{v} , \mathbf{u} \rangle .
  3.  \langle \mathbf{v} , \mathbf{v} \rangle \geq 0 og  \langle \mathbf{v} , \mathbf{v} \rangle = 0 \Leftrightarrow \mathbf{v} = \mathbf{0} .

Altså er et indre produkt på et reelt vektorrum en positiv definit ikke-degenereret symmetrisk bilinearform.

Et eksempel på et indre produkt, er prikproduktet \mathbb{R}^n , defineret ved

 \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i ,

hvor  \mathbf{u} = ( u_1 , u_2 , \dots , u_n )^T og  \mathbf{v} = ( v_1 , v_2 , \dots , v_n )^T .


I det komplekse tilfælde er reglerne lidt anderledes. Lad nu u, v, w være vilkårlige vektorer i et komplekst vektorrum V, og z, w være vilkårlige komplekse tal. Nu skal et indre produkt opfylde:

  1. \langle z\mathbf{u} + w\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle = z\langle\mathbf{u}, \mathbf{w}\rangle + w\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle og \langle\mathbf{u}, z\mathbf{v} + w\mathbf{w}\rangle = \overline{z}\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle + \overline{w}\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle.
  2. \langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = \overline{\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle}.
  3. \langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle \geq 0 og \langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle = 0 \Leftrightarrow \mathbf{v} = \mathbf{0}.

Anden del af 1. er ofte udeladt af definitionen, da det følger af 2.

Et vektorrum med et indre produkt, kaldes et indre produkt-rum.

Matematik Stub
Denne artikel om matematik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet, kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den.