Integralregning

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Integralregning udgør inden for matematikken sammen med differentialregning den såkaldte infinitesimalregning. Integraler er basalt set en udvidelse af summering, idet man summerer uendeligt mange, uendeligt små (infinitesimale) dele. Således kan man f.eks. finde et areal ved opdeling i uendeligt små firkanter (arealelementer), og summere disse op. Et andet eksempel er at beskrive den samlede ændring i en matematisk funktion, ud fra viden om hvor hurtigt denne ændrer sig (f.eks. til et givet tidspunkt eller sted).

Et eksempel til illustration af integralregning[redigér | redigér wikikode]

For at forstå hvad integraler er, kan man forestille sig en person som dagligt kører i bil til og fra sit job: På et tidspunkt får han/hun brug for at vide hvor lang ruten mellem hjem og arbejdsplads er, men desværre er bilens kilometertæller (og evt. triptæller) i uorden. Men speedometeret fungerer (og viser endda ganske nøjagtigt), så med lidt tidtagning kan man, omend med nogen usikkerhed, beregne den kørte distance således:
10 minutters by-kørsel (50 km/t) ud til motorvejen giver 8,3 km; 20 minutter på motorvej (110 km/t) giver 36,7 km, og til sidst yderligere 15 minutters by-kørsel ved 50 km/t, som giver 12,5 km. I alt 57,5 km.
Men farten er næppe, som regnestykket forudsætter, konstant; især ikke ved kørsel i byer, så for at få andet end et "løst overslag" ud af metoden med fart og tidsrum, burde denne bilist have en assistent med sig på turen, som med så korte intervaller som muligt kunne notere farten fra speedometeret, og tage tid på hvert interval. Jo kortere intervallerne kan gøres, desto mere præcist bliver det endelige resultat for hele rutens længde.

Hvis man kan skrive et regneudtryk, der præcist fortæller hvad bilens fart var til et tidspunkt t minutter inde i køreturen, kan man ved hjælp af integralregning beregne den kørte distance helt præcist: Løser man ovenstående opgave ved at integrere regneudtrykket for bilens fart, svarer det til at føromtalte assistent noterede den øjeblikkelige hastighed i uendeligt mange, uendeligt små tidsintervaller.

Et andet eksempel[redigér | redigér wikikode]

Givet et interval fra a til b ( Kan være åbent, lukket eller halvåbent ) og en inddeling af intervallet i n stykker af længden Delta xi

Eksempel:

f(x) er kontinuert og f(x)\ge 0 \quad \mbox{for} \quad x \in \left [ a;b \right ]

1. \left [ a;b \right ] inddeles i n stykker af længden \Delta x.

2. I hvert af intervallerne vælges tilfældigt et punkt, x_i med f(x_i)

3. Til hver interval hører nu et rektangel med arealet A_i =f(x_i) \cdot \Delta x \quad i=1, \ldots ,n

4. Summen af Ai-erne dannes \sum_{i=1}^n A_i = \sum_{i=1}^n f(x_i) \cdot \Delta x (Middelsum)

5. n \to \infty \quad \mbox{og} \quad \Delta x \to 0: \quad \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i \to \mbox{Arealet}

Det generelle integrationsprincip:

\sum_{i=1}^n f(x) \Delta x \to \int_a^b f(x)dx \mbox{  for  } n \to \infty \mbox{  og  } \Delta x \to 0

Bestemte og ubestemte integraler[redigér | redigér wikikode]

Man skelner mellem to måder at bruge integraler på; hhv. bestemte og ubestemte integraler.

Ubestemt integral[redigér | redigér wikikode]

Viser integralet af en funktion som arealet under kurven

I eksemplet med bilen, skal den funktion (regneudtrykket) der beskriver bilens øjeblikkelige fart til ethvert tidspunkt t under kørslen, "regnes om" til et andet udtryk: Dette "omregnede udtryk" omtaler matematikere som det ubestemte integral af fart-funktionen. Hvis fart-funktionen hedder f(t), skrives det ubestemte integral heraf som:
\int f(t) dt
Tegnet "" til venstre kaldes det lange s eller, når det bruges i forbindelse med integralregning, et integraltegn. Det var oprindeligt en skrivemåde for et s, der ikke afslutter et ord, og brugtes første gang til integralregning af Gottfried Wilhelm Leibniz baseret på det latinske ord summa (sum). Der står dt til sidst for at "minde om", at der integreres med hensyn til t – i stedet for blot f(t) kunne der stå et gevaldigt regneudtryk med en masse variabler i, og så viser "dt" hvilken en af dem der integreres over.

Det ubestemte integral er i en vis forstand "blot" en anden funktion af samme variabel som den oprindelige funktion (t i eksemplet). Denne "nye funktion" kan nu bruges til at beregne de såkaldte bestemte integraler.

Bestemt integral[redigér | redigér wikikode]

Når man har fundet det ubestemte integral af et regneudtryk, kan man beregne bestemte integraler: I eksemplet med bilen svarer det til at beregne hvor stor en del af hele strækningen der blev tilbagelagt inden for bestemte tidsintervaller. For eksempel: Hvor mange af de i alt 57,5 km bliver tilbagelagt inden for de første fem minutters bykørsel efter motorvejen? Hvis man har fundet det ubestemte integral af "fart-funktionen" som en ny funktion F(t), sådan at:
\int f(t) dt = F(t)
kan man svare på spørgsmålet om de første 5 minutter efter motorvejen (30 til 35 minutter efter starten):
\int_{30}^{35} f(t) dt = F(35) - F(30)
Bemærk skrivemåden med de to tal (30 og 35) der afgrænser der relevante interval skrevet ved integraltegnet. Har man et regneudtryk for F(t), kan man således løse opgaven for vilkårlige tidsintervaller.

Bemærk at "svaret på" et bestemt integral er et tal – i eksemplet med bilen den strækning der køres inden for 5 minutter efter motorvejen forlades – mens et ubestemt integral altid er et regneudtryk.

Arealet under en kurve[redigér | redigér wikikode]

Hvis man tegner grafen til en funktion og vælger et interval som beskrevet ovenfor, kan man markere intervallet på grafen som to linjer parallelt med koordinatsystemets ordinatakse: Nu vil arealet mellem grafen, abscisseaksen og de to intervalgrænser være lig med funktionens bestemte integral for samme interval.

Se også[redigér | redigér wikikode]

Her er en oversigt over integraler i flere dimensioner:

Eksternt link[redigér | redigér wikikode]

  • http://integrals.wolfram.com/ : Her kan man indtaste et regneudtryk, og få det ubestemte integral (med hensyn til en variabel x som skal indgå i regneudtrykket)
Commons-logo.svg
Wikimedia Commons har medier relateret til: