Jævn cirkelbevægelse

Jævn cirkelbevægelse er en bevægelse med konstant vinkelhastighed i konstant afstand fra et omdrejningspunkt. Jorden udfører med god tilnærmelse en jævn cirkelbevægelse omkring Solen.

Kinematisk beskrivelse af jævn cirkelbevægelse

Hvis man indlægger et sædvanligt koordinatsystem med origo i centrum af den jævne cirkelbevægelse, er stedkoordinaterne som funktion af tiden til det objekt som udfører bevægelsen givet ved

$\vec{r}(t) = {x(t) \choose y(t)} = r {\cos(\omega t) \choose \sin(\omega t) }$

hvor $r$ er radius i cirkelbevægelsen, $\omega$ er vinkelhastigheden, og $t$ er tiden. Det følger heraf at objektet gennemfører et omløb i tiden $\tau = \frac{2\pi}{\omega}$.

Hastigheden i den jævne cirkelbevægelse findes ved differentiation mht. tiden:

$\vec{v}(t) = {v_x(t) \choose v_y(t) } = \vec{r}'(t) = \omega r { -\sin(\omega t) \choose \cos(\omega t)}$

Det fremgår heraf at farten i den jævne cirkelbevægelse også er konstant, nemlig $v = \omega r$, og at hastigheden står vinkelret på radiusvektor.

Accelerationen i den jævne cirkelbevægelse findes atter ved differentiation mht. tiden:

$\vec{a}(t) = {a_x(t) \choose a_y(t) } = \vec{v}'(t) = \vec{r}''(t) = -\omega^2 r {\cos(\omega t) \choose \sin(\omega t)}$

Det fremgår heraf at accelerationens størrelse i den jævne cirkelbevægelse også er konstant, nemlig $a = \omega^2 r$, og at accelerationen er parallel med radiusvektor og rettet ind mod centrum af bevægelsen. Der gælder endvidere følgende sammenhæng $a = \tfrac{v^2}{r}$ mellem accelerationen og farten i cirkelbevægelsen.

Dynamisk beskrivelse af jævn cirkelbevægelse

Da farten i en jævn cirkelbevægelse er konstant, er bevægelsesmængden det også, men ligesom hastigheden bestandig ændrer retning, gør $\vec{p}$ det også. Der gælder

$p = mv = m\omega r$

hvor $m$ er massen af det objekt som udfører den jævne cirkelbevægelse.

Af Newtons anden lov følger at størrelsen af kraften i den jævne cirkelbevægelse er givet ved

$F = ma = m\omega^2r$

Ligesom accelerationsvektoren ændrer kraftvektoren bestandig retning. Den peger ind mod centrum og kaldes derfor centripetalkraften.

Kraftmomentet er nul i en jævn cirkelbevægelse. Det følger af at kraftvektoren er parallel med radiusvektor. Derfor er kraftens arm nul. Som konsekvens heraf er impulsmomentet bevaret. Størrelsen af impulsmomentet er konstant lig

$l = rp = m\omega r^2$

Impulsmomentets retning er bestemt af at radiusvektor, kraftvektoren og impulsmomentvektoren danner en højreskrue.

Den kinetiske energi i en jævn cirkelbevægelse er givet ved

$E_\mathrm{kin} = \frac{mv^2}{2} = \frac{m\omega^2 r^2}{2} = \frac{I\omega^2}{2} = \frac{l^2}{2mr^2} = \frac{l^2}{2I}$

hvor $I = mr^2$ er inertimomentet.