Keglestub

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

En keglestub er en kegle, hvor toppen er skåret af.

keglestub

Arealet af den krumme overflade på en keglestub er givet ved

 A = \pi  s \, (R + r)

hvor:

  • R er radius i den store cirkulære endeflade.
  • r er radius i den lille cirkulære endeflade.
  • s er afstanden mellem de to cirkelperiferier.

s kan udregnes vha. Pythagoras sætning (a²+b²=c²). a: keglestubbens højde, b: R-r og c: s.

Altså: h² + (R-r)² = s²


Rumfanget (Volumen) af en keglestub er givet ved

 V = \frac{1}{3} \, H  \, \pi \, (R^2 + r^2 + R \, r)

hvor:

  • H er Højden i figuren
  • R er radius i den store cirkulære endeflade.
  • r er radius i den lille cirkulære endeflade.


Bevis for rumfangs formel[redigér | redigér wikikode]

Ovenstående formel kan findes ved at benytte reglen for udregning af volumen for omdrejnings legemer.

For en funktion  y = f(x) som drejes 360˚ omkring x-aksen mellem punkterne  a og b, kan man finde volumen af det frembragte omdrejnings legeme ved dette udtryk

 V =  \int_a^b \pi f^2(x) \, dx

For en keglestub gælder f(x) = r + x \cdot \frac{R-r}{H} og det ønskede omdrejnings volumen findes med  a = 0 og  b=H.

 V =  \int_0^H \pi (r + x \cdot \frac{R-r}{H})^2 \, dx

 V =  \pi \int_0^H  (r^2 + x^2 \cdot (\frac{R-r}{H})^2 + 2 \cdot r \cdot x \cdot \frac{R-r}{H}) \, dx

 V =   \pi (x \cdot r^2 + \frac{1}{3}x^3 \cdot (\frac{R-r}{H})^2 +  2 \cdot r \cdot \frac{1}{2}  x^2 \cdot \frac{R-r}{H}) 	\Big|_0^H

 V =  \frac{1}{3} \, \pi \, H \, (R^2 + r^2 + R \, r)


Volumenet for en keglestub-skal med konstant tykkelse kan ud fra ovenstående vises at være

 V = \pi \, H \, t \, (R + r - t)

hvor:

  • t er skallens tykkelse målt parallelt med bunden og toppen.
  • R og r er keglestubben udvendige mål

Hvis tykkelsen er målt vinkelret på skallens overflade skal t erstattes med

 t = T \, \frac{\sqrt{(R-r)^2+H^2}}{H}

hvor:

  • T er skallens tykkelse målt vinkelret på den skrå overflande.


Se også[redigér | redigér wikikode]

Eksterne henvisninger[redigér | redigér wikikode]

Matematik Stub
Denne artikel om matematik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet, kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den.