Keglestub

En keglestub er en kegle, hvor toppen er skåret af.

keglestub

Arealet af den krumme overflade på en keglestub er givet ved

$A = \pi s \, (R + r)$

hvor:

• $R$ er radius i den store cirkulære endeflade.
• $r$ er radius i den lille cirkulære endeflade.
• $s$ er afstanden mellem de to cirkelperiferier.

$s$ kan udregnes vha. Pythagoras sætning (a²+b²=c²). a: keglestubbens højde, b: $R$-$r$ og c: $s$.

Altså: h² + ($R$-$r$)² = $s$²

Rumfanget (Volumen) af en keglestub er givet ved

$V = \frac{1}{3} \, H \, \pi \, (R^2 + r^2 + R \, r)$

hvor:

• $H$ er Højden i figuren
• $R$ er radius i den store cirkulære endeflade.
• $r$ er radius i den lille cirkulære endeflade.

Bevis for rumfangs formel

Ovenstående formel kan findes ved at benytte reglen for udregning af volumen for omdrejnings legemer.

For en funktion $y = f(x)$ som drejes 360˚ omkring x-aksen mellem punkterne $a$ og $b$, kan man finde volumen af det frembragte omdrejnings legeme ved dette udtryk

$V = \int_a^b \pi f^2(x) \, dx$

For en keglestub gælder $f(x) = r + x \cdot \frac{R-r}{H}$ og det ønskede omdrejnings volumen findes med $a = 0$ og $b=H$.

$V = \int_0^H \pi (r + x \cdot \frac{R-r}{H})^2 \, dx$

$V = \pi \int_0^H (r^2 + x^2 \cdot (\frac{R-r}{H})^2 + 2 \cdot r \cdot x \cdot \frac{R-r}{H}) \, dx$

$V = \pi (x \cdot r^2 + \frac{1}{3}x^3 \cdot (\frac{R-r}{H})^2 + 2 \cdot r \cdot \frac{1}{2} x^2 \cdot \frac{R-r}{H}) \Big|_0^H$

$V = \frac{1}{3} \, \pi \, H \, (R^2 + r^2 + R \, r)$

Volumenet for en keglestub-skal med konstant tykkelse kan ud fra ovenstående vises at være

$V = \pi \, H \, t \, (R + r - t)$

hvor:

• $t$ er skallens tykkelse målt parallelt med bunden og toppen.
• $R$ og $r$ er keglestubben udvendige mål

Hvis tykkelsen er målt vinkelret på skallens overflade skal $t$ erstattes med

$t = T \, \frac{\sqrt{(R-r)^2+H^2}}{H}$

hvor:

• $T$ er skallens tykkelse målt vinkelret på den skrå overflande.

Se også

• Pyramidestub

Eksterne henvisninger

• Wikimedia Commons har flere filer relateret til Stubbe

Stub Denne artikel om matematik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet, kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den.

• http://www.analyzemath.com/Geometry/conical_frustum.html
• problem på volumen af ​​en trunkeret elliptisk kegle (engelsk)