Kommutativitet

Inden for matematikken vil det, at en operator besidder den egenskab at være kommutativ, sige, at placeringen af en operators specifikke antal af operander er uden betydning for resultatet af udregningen.

Nullinære operatorer

Eftersom en nullinær operator anskues for at være en konstant – den kan siges at have nul operander – giver det spørgsmål, hvorvidt placeringen af en nullinær operators nul operander er uden betydning for resultatet af udregningen, ingen mening. Derfor kan muligheden for kommutativitet ikke gælde for nullinære operatorer.

Uninære operatorer

Eftersom en uninær operator har én og kun én operand, giver det spørgsmål, hvorvidt placeringen af en uninær operators ene operand er uden betydning for resultatet af udregningen, ingen mening. Derfor kan muligheden for kommutativitet (heller) ikke gælde for uninære operatorer.

Binære operatorer

Eftersom en binær operator har to operander, giver det spørgsmål, hvorvidt placeringen af en binær operators to operander er uden betydning for resultatet af udregningen, god mening. Derfor kan muligheden for kommutativitet godt gælde for binære operatorer.

En binær operator $O_2( \cdot , \cdot )$ over en mængde $M$ kaldes kommutativ, hvis der for hvert set af to elementer gælder, at det ene element og det andet element opereret med hinanden giver det samme resultat uafhængigt af, i hvilken rækkefølge udregningen af resultatet beregnes. Der vil være 2 = 2! rækkefølger.

$\forall a_1,a_2,a_3\in M: O_2( a_1 , a_2 ) = O_2( a_2 , a_1 )$

$\forall a_1,a_2\in M: a_1 \cdot a_2 = a_2\cdot a_1$

det vil sige, hvis alle elementer i $(M,\cdot)$ er ombyttelige.

For eksempel er addition over de naturlige tal, (eller over de hele tal, eller over de rationelle tal, eller over de reelle tal, eller over de komplekse tal), kommutativ; og eksempelvis er multiplikation over de naturlige tal, (eller over de hele tal, eller over de rationelle tal, eller over de reelle tal, eller over de komplekse tal), også kommutativ:

5 + 3 = 8 = 3 + 5

5 * 3 = 15 = 3 * 5

For eksempel er subtraktion over de naturlige tal, (eller over de hele tal, eller over de rationelle tal, eller over de reelle tal, eller over de komplekse tal), ikke kommutativ; og eksempelvis er division over de naturlige tal, (eller over de hele tal, eller over de rationelle tal, eller over de reelle tal, eller over de komplekse tal), heller ikke kommutativ.

8-4 = 4 ≠ -4 = 4-8

8÷4 = 2 ≠ 0,5 = 4÷8

Imidlertid er multiplikation over et matrix-rum ikke kommutativ.

$\begin{bmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} e & f\\ g & h\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} (ae+bg) & (af+bh)\\ (ce+dg) & (cf+dh)\\ \end{bmatrix},$

hvorimod

$\begin{bmatrix} e & f\\ g & h\\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} (ea+fc) & (eb+fd)\\ (ga+hc) & (gb+hd)\\ \end{bmatrix} .$

Ternære operatorer

Eftersom en ternær operator har tre operander, giver det spørgsmål, hvorvidt placeringen af en ternær operators tre operander er uden betydning for resultatet af udregningen, god mening. Derfor kan muligheden for kommutativitet godt gælde for ternære operatorer.

En ternær operator $O_3( \cdot , \cdot , \cdot )$ over en mængde $M$ kaldes kommutativ, hvis der for hvert set af tre elementer gælder, at det ene element og det andet element og det tredje element opereret med hinanden giver det samme resultat uafhængigt af, i hvilken rækkefølge udregningen af resultatet beregnes. Der vil være 6 = 3! rækkefølger.

$\forall a_1,a_2,a_3\in M: O_3( a_1 , a_2 , a_3 ) = O_3( a_2 , a_1 , a_3 ) = O_3( a_2 , a_3 , a_1 ) = O_3( a_1 , a_3 , a_2 ) = O_3( a_3 , a_1 , a_2 ) = O_3( a_3 , a_2 , a_1 )$

Kvaternære operatorer

Eftersom en kvaternær operator har fire operander, giver det spørgsmål, hvorvidt placeringen af en kvaternær operators fire operander er uden betydning for resultatet af udregningen, god mening. Derfor kan muligheden for kommutativitet godt gælde for kvaternære operatorer.

En kvaternær operator $O_4( \cdot , \cdot , \cdot , \cdot )$ over en mængde $M$ kaldes kommutativ, hvis der for hvert set af fire elementer gælder, at det ene element og det andet element og det tredje element og det fjerde element opereret med hinanden giver det samme resultat uafhængigt af, i hvilken rækkefølge udregningen af resultatet beregnes. Der vil være 24 = 4! rækkefølger.

Stub Denne naturvidenskabsartikel er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet, kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den.

Se også

• Associativitet
• Distributivitet
• Kommutator (matematik)