Kommutativitet

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Inden for matematikken vil det, at enten en funktion eller en operation besidder den egenskab at være kommutativ, sige, at placeringen af enten en funktions eller en operations specifikke antal af in-put er uden betydning for resultatet af udregningen.

Nullinaritet[redigér | redigér wikikode]

Nullinære funktioner[redigér | redigér wikikode]

Nullinære funktioner er slet ikke definerede! Derfor kan muligheden for kommutativitet ikke gælde.

Nullinære operationer[redigér | redigér wikikode]

Eftersom en nullinær operation anskues for at være en konstant – den kan siges at have nul operander – giver det spørgsmål, hvorvidt placeringen af en nullinær operators nul operander er uden betydning for resultatet af udregningen, ingen mening. Derfor kan muligheden for kommutativitet ikke gælde for nullinære operationer.

Uninaritet[redigér | redigér wikikode]

Uninære funktioner[redigér | redigér wikikode]

En uninær funktion er løst set en funktion  F_1( \cdot ) , der fører ét element fra den ene mængde over til den anden mængde,  F_1( \cdot ) : X_1 \rightarrow Y . Og eftersom en uninær funktion har ét og kun ét in-put, giver det spørgsmål, hvorvidt placeringen af en uninær funktions ene in-put er uden betydning for resultatet af udregningen, ingen mening. Derfor kan muligheden for kommutativitet ikke gælde for uninære funktioner.

Uninære operationer[redigér | redigér wikikode]

En uninær operation er løst set en funktion  O_1( \cdot ) , der fører ét element fra den ene mængde tilbage til den sammme mængde,  O_1( \cdot ) : X \rightarrow X Og eftersom en uninær operation har ét og kun ét in-put, giver det spørgsmål, hvorvidt placeringen af en uninær operations ene in-put er uden betydning for resultatet af udregningen, ingen mening. Derfor kan muligheden for kommutativitet (heller) ikke gælde for uninære operationer.

Binaritet[redigér | redigér wikikode]

Binære funktioner[redigér | redigér wikikode]

En binær funktion løst set er en funktion  f_2( \cdot , \cdot ) , der fører ét element fra den ene mængde og et andet element fra den anden mængde over til den tredje mængde,  f_2( \cdot , \cdot ) : X_1 \times X_2 \rightarrow Y . Og eftersom en binær funktion har to in-put, giver det spørgsmål, hvorvidt placeringen af en binær funktions to in-put er uden betydning for resultatet af udregningen, mening. Dersom tilfældet X_1X_2 overvejes, altså  f_2( \cdot , \cdot ) : X_1 \times X_2 \rightarrow Y , kan kommutativitet ikke gælde, eftersom elementerne fra in-put tilhører hver deres mængde. Dersom tilfældet X_1 = X_2 = X overvejes, altså  F_2( \cdot , \cdot ) : X \times X \rightarrow Y , kan kommutativitet muligvis gælde, eftersom elementerne fra in-put tilhører den samme mængde.

Binære operationer[redigér | redigér wikikode]

Eftersom en binær operation løst set er en funktion  O_2( \cdot , \cdot ) , der fører to elementer fra den ene mængde tilbage til den samme mængde,  O_2( \cdot , \cdot ): X \times X \rightarrow X . Og eftersom en binær operation har to in-put, giver det spørgsmål, hvorvidt placeringen af en binær operations to in-put er uden betydning for resultatet af udregningen, mening. Derfor kan muligheden for kommutativitet godt gælde for binære operationer.

En binær operation O_2( \cdot , \cdot ) over en mængde M kaldes kommutativ, hvis der for hvert set af to elementer gælder, at det ene element og det andet element opereret med hinanden giver det samme resultat uafhængigt af, i hvilken rækkefølge udregningen af resultatet beregnes. Der vil være 2 = 2! rækkefølger.


\forall a_1,a_2,a_3\in M:
O_2( a_1 , a_2 ) = O_2( a_2 , a_1 )


\forall a_1,a_2\in M:
a_1 \cdot a_2 = a_2\cdot a_1

det vil sige, hvis alle elementer i (M,\cdot) er ombyttelige.

For eksempel er addition over de naturlige tal, (eller over de hele tal, eller over de rationelle tal, eller over de reelle tal, eller over de komplekse tal), kommutativ; og eksempelvis er multiplikation over de naturlige tal, (eller over de hele tal, eller over de rationelle tal, eller over de reelle tal, eller over de komplekse tal), også kommutativ:

5 + 3 = 8 = 3 + 5
5 * 3 = 15 = 3 * 5

For eksempel er subtraktion over de naturlige tal, (eller over de hele tal, eller over de rationelle tal, eller over de reelle tal, eller over de komplekse tal), ikke kommutativ; og eksempelvis er division over de naturlige tal, (eller over de hele tal, eller over de rationelle tal, eller over de reelle tal, eller over de komplekse tal), heller ikke kommutativ.

8-4 = 4 ≠ -4 = 4-8
8÷4 = 2 ≠ 0,5 = 4÷8

Imidlertid er multiplikation over et matrix-rum ikke kommutativ.

\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d\\
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
e & f\\
g & h\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
(ae+bg) & (af+bh)\\
(ce+dg) & (cf+dh)\\
\end{bmatrix},

hvorimod

\begin{bmatrix}
e & f\\
g & h\\
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
(ea+fc) & (eb+fd)\\
(ga+hc) & (gb+hd)\\
\end{bmatrix}
.


Ternaritet[redigér | redigér wikikode]

Ternære funktioner[redigér | redigér wikikode]

Kost Tekst mangler, hjælp os med at skrive teksten

Ternære operationer[redigér | redigér wikikode]

Eftersom en ternær operator har tre operander, giver det spørgsmål, hvorvidt placeringen af en ternær operators tre operander er uden betydning for resultatet af udregningen, god mening. Derfor kan muligheden for kommutativitet godt gælde for ternære operatorer.

En ternær operator O_3( \cdot , \cdot , \cdot ) over en mængde M kaldes kommutativ, hvis der for hvert set af tre elementer gælder, at det ene element og det andet element og det tredje element opereret med hinanden giver det samme resultat uafhængigt af, i hvilken rækkefølge udregningen af resultatet beregnes. Der vil være 6 = 3! rækkefølger.


\forall a_1,a_2,a_3\in M:
O_3( a_1 , a_2 , a_3 ) = O_3( a_2 , a_1 , a_3 ) = O_3( a_2 , a_3 , a_1 ) = O_3( a_1 , a_3 , a_2 ) = O_3( a_3 , a_1 , a_2 ) = O_3( a_3 , a_2 , a_1 )

Kvaternaritet[redigér | redigér wikikode]

Kvaternære funktioner[redigér | redigér wikikode]

Kost Tekst mangler, hjælp os med at skrive teksten

Kvaternære operationer[redigér | redigér wikikode]

Eftersom en kvaternær operator har fire operander, giver det spørgsmål, hvorvidt placeringen af en kvaternær operators fire operander er uden betydning for resultatet af udregningen, god mening. Derfor kan muligheden for kommutativitet godt gælde for kvaternære operatorer.

En kvaternær operator O_4( \cdot , \cdot , \cdot , \cdot ) over en mængde M kaldes kommutativ, hvis der for hvert set af fire elementer gælder, at det ene element og det andet element og det tredje element og det fjerde element opereret med hinanden giver det samme resultat uafhængigt af, i hvilken rækkefølge udregningen af resultatet beregnes. Der vil være 24 = 4! rækkefølger.


Naturvidenskab Stub
Denne naturvidenskabsartikel er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet, kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den.

Se også[redigér | redigér wikikode]