Kommutator (matematik)

Angående en elektrisk omskifter som periodisk vender strømmens retning, se kommutator

I matematik indikerer kommutatoren hvor dårligt en bestemt binær operation kommuterer. Der anvendes forskellige definitioner i gruppeteori og ringteori.

Gruppeteori

Kommutatoren af to elementer g og h i en gruppe G er elementet

[g, h] = g⁻¹h⁻¹gh

Den er lig med gruppens identitet hvis og kun hvis g og h kommuterer (dvs. hvis og kun hvis gh = hg).

N.B. Nogle steder vælges kommutatoren at defineres som

[g, h] = ghg⁻¹h⁻¹

Identiteter

I det følgende angiver a^x det x-konjugerede element x⁻¹a x.

• [y,x] = [x,y] ⁻¹
• [[x,y⁻¹],z] ^y [[y,z⁻¹],x] ^z [[z,x⁻¹],y]^x = 1
• [xy,z] = [x,z]^y [y,z]
• [x,yz] = [x,z] [x,y]^z

Den anden identitet er også kendt under navnet Hall-Witt identiteten. Den er en gruppe-teoretisk analog af Jacobi-identiteten for den ring-teoretiske kommutator (se næste sektion).

Ringteori

Kommutatoren af to elemeter a og b i en ring eller associativ algebra er defineret ved

[a, b] = ab − ba

Den er nul hvis og kun hvis a og b kommuterer. I lineær algebra haves at hvis to matricer kommuterer i en basis, vil de kommutere i enhver anden basis.

Kommutatoren af to operatorer defineret i et Hilbertrum er et vigtigt koncept i kvantemekanik, da den angiver hvor godt de to målbare størrelser beskrevet af operatorerne kan måles samtidigt. Usikkerhedsprincippet er i bund og grund en sætning om disse kommutatorer.

Ligeledes er antikommutatoren defineret som ab + ba, ofte skrevet { a, b }.

Identiteter

Kommutatoren har de følgende egenskaber:

Lie-algebra relationer:

• [A,B] = − [B,A]
• [A,A] = 0
• [A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] = 0

Yderligere relationer:

• [A,BC] = [A,B]C + B[A,C]
• [AB,C] = A[B,C] + [A,C]B
• [A,BC] = [AB,C] + [CA,B]
• [ABC,D] = AB[C,D] + A[B,D]C + [A,D]BC