Kommutator (matematik)

Angående en elektrisk omskifter som periodisk vender strømmens retning, se kommutator

For alternative betydninger, se Kommutator. (Se også artikler, som begynder med Kommutator)

Denne artikel bør gennemlæses af en person med fagkendskab for at sikre den faglige korrekthed.

I matematik indikerer^[hvordan?] kommutatoren hvor dårligt en bestemt binær operation kommuterer. Der anvendes forskellige definitioner i gruppeteori og ringteori.

Gruppeteori[redigér | rediger kildetekst]

Kommutatoren af to elementer g og h i en gruppe G er elementet

[g, h] = g⁻¹h⁻¹gh

Den er lig med gruppens identitet hvis og kun hvis g og h kommuterer (dvs. hvis og kun hvis gh = hg).

N.B. Nogle steder vælges kommutatoren at defineres som

[g, h] = ghg⁻¹h⁻¹

Identiteter[redigér | rediger kildetekst]

I det følgende angiver a^x det x-konjugerede element x⁻¹a x.

[y,x] = [x,y] ⁻¹
[[x,y⁻¹],z] ^y [[y,z⁻¹],x] ^z [[z,x⁻¹],y]^x = 1
[xy,z] = [x,z]^y [y,z]
[x,yz] = [x,z] [x,y]^z

Den anden identitet er også kendt under navnet Hall-Witt identiteten. Den er en gruppe-teoretisk analog af Jacobi-identiteten for den ring-teoretiske kommutator (se næste sektion).

Ringteori[redigér | rediger kildetekst]

Kommutatoren af to elemeter a og b i en ring eller associativ algebra er defineret ved

[a, b] = ab − ba

Den er nul hvis og kun hvis a og b kommuterer. I lineær algebra haves at hvis to matricer kommuterer i en basis, vil de kommutere i enhver anden basis.^{[bør uddybes]}

Kommutatoren af to operatorer defineret i et Hilbertrum er et vigtigt koncept i kvantemekanik, da den angiver hvor godt de to målbare størrelser beskrevet af operatorerne kan måles samtidigt. Usikkerhedsprincippet er i bund og grund en sætning om disse kommutatorer.

Ligeledes er antikommutatoren defineret som ab + ba, ofte skrevet { a, b }.

Identiteter[redigér | rediger kildetekst]

Kommutatoren har de følgende egenskaber:

Lie-algebra relationer:

[A,B] = − [B,A]
[A,A] = 0
[A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] = 0

Yderligere relationer:

[A,BC] = [A,B]C + B[A,C]
[AB,C] = A[B,C] + [A,C]B
[A,BC] = [AB,C] + [CA,B]
[ABC,D] = AB[C,D] + A[B,D]C + [A,D]BC

Kilder[redigér | rediger kildetekst]

Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2. udgave). Prentice Hall. ISBN 013805326X.
Liboff, Richard L. (2002). Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. ISBN 0805387145.