Kurveintegral

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
Kurveintegral af et skalarfelt f

Et kurveintegral er i matematiken et integral hvor den funktion der skal integreres evalueres langs en kurve. Det må ikke forveksles med det integral hvormed man kan finde kurvelængden.

Den funktion der skal integreres kan være et skalar- eller vektorfelt. Værdien af kurveintegralet, er summen af alle værdierne langs kurven, og denne skal være angivet som en parametrisering mellem kurvens endepunkter.

Hvis kurven er lukket kaldes integralet for et lukket kurveintegral eller et konturintegral.

Vektoranalyse[redigér | redigér wikikode]

Et kurveintegral indenfor vektoranalysen er et integral af et skalar- eller vektorfelt langs en kurve C. Hvis kurven kan parametriseres med en funktion \mathbf{r}(t)\,, a \le t \le b så kan kurveintegralet definieres ved


\int_{C}\phi \, ds = \int_a^b\phi(\mathbf{r}(t))|\mathbf{r}'(t)|dt

respektivt


\int_{C}\mathbf{A} \cdot \mathbf{dr} =
\int_a^b\mathbf{A}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)dt

Hvor højresiden er integraler i een variabel (t ).

Hvis kurven C er lukket så kaldes kurveintegralet for et lukket integral og betegnes


\oint_C \mathbf{A} \cdot \mathbf{dr}

Stokes sætning beskriver en sammenhæng mellem lukkede kurveintegraler og fladeintegraler.

Fundamentalsætningen for kurveintegraler[redigér | redigér wikikode]

Hvis et vektorfelt F er gradienten til et skalarfelt G (dvs. F er et konservativt felt)

\nabla G = \mathbf{F},

så er den afledte af den sammensatte funktion af G og r(t)

\frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt} = \nabla G(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)

hvilket er identisk med integranden for kurveintegralet af F langs r(t). Det følger at, givet kurven C, så har vi

\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt = \int_a^b \frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt}\,dt = G(\mathbf{r}(b)) - G(\mathbf{r}(a)).

Med andre ord, integralet af F over C afhænger kun af værdierne af G i endepunkterne r(b) og r(a), og er dermed uafhængig af den valgte vej.
Fundamentalsætningen for kurveintegraler kaldes også for Gradient teoremet.


Matematik Stub
Denne artikel om matematik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet, kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den.