Kvadratkomplettering

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Kvadratkomplettering er en teknik i algebra, hvis grundlæggende formål er at reducere en variabel med et polynomium af anden grad i en ligning eller i et matematisk udtryk, så der fremkommer et lineært polynomisk udtryk i anden potens. Derved gøres det i mange sammenhænge lettere at løse ligningen.

Oversigt[redigér | redigér wikikode]

Ved kvadratkomplettering transformeres et andengradspolynomiom altså til et kvaderet lineært polynomiun og en konstant. Det betyder, at et polynomium af formen

a x^2 + b x\,\!

ændres til et af formen

(c x + d)^2 + e\,\!

Det bemærkes, at koefficienterne a, b, c, d og e ovenfor selv kan være matematiske udtryk og indeholde andre variable end x.

Den vigtigste anvendelse af kvadratkomplettering er at finde løsningerne til andengradsligningen.

Almindelig formel[redigér | redigér wikikode]

For

a x^2 + b x = (c x + d)^2 + e \,\!

har vi

c = \sqrt{a}\,\!
d = \frac{b}{2\sqrt{a}}\,\!
e = -d^2 = -\left(\frac{b}{2\sqrt{a}}\right)^2 \,\!

Eller

a x^2 + b x = \left(x \sqrt{a} + \frac{b}{2 \sqrt{a}}\right)^2 - 
                    \left(\frac{b}{2 \sqrt{a}}\right)^2\,\!

Eksempler[redigér | redigér wikikode]

Eksempel 1[redigér | redigér wikikode]

Et meget simpelt eksempel er:

x^2+4x = x^2+4x+4-4 = (x+2)^2-4\,\!

Eksempel 2[redigér | redigér wikikode]

Et andet simpelt eksempel er at finde rødderne af:

\begin{matrix}
x^2 + 6x - 16 &=& 0 &\\
x^2 + 6x &=& 16 &\\
x^2 + 6x + (\frac{6}{2})^2 &=& 16 + (\frac{6}{2})^2 & *\\
x^2 + 6x + 9 &=& 16 + 9 &\\
(x + 3)^2 &=& 25 &\\
(x + 3) &=& \pm \sqrt{25} &\\
x + 3 &=&  \pm5 &\\
x &=& \pm5 - 3 &\\
x &=& - 8 , 2 &\\
\end{matrix}

* kvadratkompletteringen

Eksempel 3[redigér | redigér wikikode]

Betragt problemer med at finde følgende integral:

\int\frac{dx}{9x^2-90x+241}\,\!.

Det kan gøres ved hjælp af kvadratkomplettering af nævneren. Nævneren er

9x^2-90x+241=9(x^2-10x)+241\,\!.

Når kvadratet kompletteres ved at lægge (10/2)² = 25 til x² – 10x fås det perfekte kvadrat x² – 10x + 25 = (x – 5)². Derfor fås:

9(x^2-10x)+241=9(x^2-10x+25)+241-9(25)=9(x-5)^2+16\,\!.

Hvorfor integralet er

\int\frac{dx}{9x^2-90x+241}=\frac{1}{9}\int\frac{dx}{(x-5)^2+(4/3)^2}=\frac{1}{9}\cdot\frac{3}{4}\arctan\frac{3(x-5)}{4}+C\,\!.

Eksempel 4[redigér | redigér wikikode]

Som en generalisering af eksempel 2, kan rødderne af:

x^2 + bx +c = 0\,\!,

findes ved at omforme ligningen, så "x" og "x i anden" ikke længere optræder. For at opnå dette, kompletteres kvadratet: tag halvdelen af koefficienten til "x", kvadrer den, og læg den til på begge sider af lighedstegnet, således:

\begin{matrix}
x^2 + bx +c &=& 0 &\\
x^2 + bx &=& -c &\\
x^2 + bx + (\frac{b}{2})^2 &=& -c+ (\frac{b}{2})^2 & *\\
(x + \frac{b}{2})^2 &=&  (\frac{b}{2})^2 - c &\\
(x + \frac{b}{2}) &=& \pm\sqrt{ (\frac{b}{2})^2 - c} &\\
x &=& - \frac{b}{2}\pm\sqrt{ (\frac{b}{2})^2 - c} &
\end{matrix}

* kvadratkomplettering

Eksempel 5 (den generelle andengradsligning)[redigér | redigér wikikode]

Eksempel 4 kan generaliseres yderligere til at finde løsningerne til den generelle andengradsligning

 a x^2 + b x + c  = 0 \,\!

idet der først foretages kvadratkomplettering således:

\begin{matrix}a x^2 + b x + c &= &a \left(x^2 + \frac{b x}{a}\right) + c \\

 & = & a \left(x^2 + \frac{b x}{a} + \left(\frac{b^2}{4 a^2} - \frac{b^2}{4 a^2}\right)\right) + c \\
 & = & a \left(x^2 + \frac{b x}{a} + \left(\frac{b}{2 a}\right)^2\right) - a \frac{b^2}{4 a^2} + c \\

 & = & a \left(x^2 + 2\frac{b x}{2 a} + \left(\frac{b}{2 a}\right)^2\right) - a \frac{b^2}{4 a^2} + c \\

 & = & a \left(x + \frac{b}{2 a}\right)^2 - a \frac{b^2}{4 a^2} + c 
\end{matrix}\,\!.

hvoraf

\begin{matrix}

 \left(x + \frac{b}{2 a}\right)^2 & = & \frac{b^2}{4 a^2} - \frac{c}{a} \\

 x + \frac{b}{2 a} & = & \pm\sqrt{\frac{b^2}{4 a^2} - \frac{c}{a} }\\

 x  & = & \pm\sqrt{\frac{b^2}{4 a^2} - \frac{c}{a}} - \frac{b}{2 a} \\

    & = & \frac{\pm\sqrt{4 a^2 (\frac{b^2}{4 a^2} - \frac{c}{a})}}{2 a} - \frac{b}{2 a} \\

    & = & \frac{- b \pm\sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} 

 \end{matrix}\,\!

Komplekse versioner af kvadratkomplettering[redigér | redigér wikikode]

Betragt udtrykket

 |z|^2 - b^*z - bz^* + c,\,

hvor z og b er komplekse tal, z^* og b^* er de komplexe conjugationer af henholdsvis z og b, og c er et reelt tal. Dette kan udtrykkes på denne måde:

 |z-b|^2 - |b|^2 + c,\,

som klart er en virkelig mængde. Det er fordi

\begin{matrix}
|z-b|^2  &=&  (z-b)(z-b)^*  \\
&=&  (z-b)(z^*-b^*)  \\
&=&  zz^* - zb^* - bz^* + bb^*  \\
&=&  |z|^2 - zb^* - bz^* + |b|^2
\end{matrix}

Ligeledes kan udtrykket

 ax^2 + by^2 + c,\,

hvor a, x, b, y og c er reelle tal og a>0 samt b>0, udtrykkes ved kvadratet af den absolutte værdi af et komplekst tal. Defineres

 z = \sqrt{a} x + i \sqrt{b} y,

\begin{matrix}
|z|^2 &=& z z^* \\
&=& (\sqrt{a} x + i \sqrt{b} y)(\sqrt{a} x - i \sqrt{b} y) \\
&=& ax^2 - i\sqrt{a}\sqrt{b}xy + i\sqrt{b}\sqrt{a}yx - i^2by^2 \\
&=& ax^2 + by^2
\end{matrix}

hvorfor

 ax^2 + by^2 + c = |z|^2 + c.\,

Se også[redigér | redigér wikikode]