L'Hôpitals regel

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

L'Hôpitals regel er benævnelsen for en række matematiske regler eller sætninger af Guillaume de l'Hôpital, der benyttes til bestemmelse af en brøks grænseværdi, når både nævner og tæller går mod enten 0 eller \infty, når den indgående variabel går mod et fast punkt eller mod uendelig.

Sætningerne[redigér | redigér wikikode]

Reglen deles typisk op i tre hovedsætninger. I det følgende betegner f' funktionen fs afledede.

Reglen om 0/0-udtryk, når x går mod et fast punkt[redigér | redigér wikikode]

Lad f og g være to funktioner, der er definerede nær et punkt a. Antag at både f(x) og g(x) går mod 0 for x \to a. Hvis brøken \frac{f'(x)}{g'(x)} \to c for x \to a, så gælder \frac{f(x)}{g(x)} \to c for x \to a.

Resultatet gælder, uanset om c er et reelt tal eller \pm \infty, og både hvis x \to a^+ eller x \to a^-.

Et bevis for x \to a^+[redigér | redigér wikikode]

Af ovenstående haves at

f(x) \to 0 for x \to a^+

g(x) \to 0 for x \to a^+

\frac{f'(x)}{g'(x)} \to c for x \to a^+.

Af de første to ligninger følger, at funktionerne f og g er defineret i et interval ]a,a+\rho[ til højre for a. Sættes f(a)=g(a)=0 kan bevises, at både f og g er kontinuerte på intervallet. Af den tredje ligning følger, at \frac{f'(x)}{g'(x)} er defineret i et interval ]a,\rho_1[, hvor det kan antages, at \rho_1 < \rho, da en funktion nødvendigvis må være defineret, for at dens afledede er det. Det betyder, at g'(x) \not= 0 i dette interval. Hvis a < x < a+\rho_1 opfylder g(x) middelværdisætningens antagelser, og der eksisterer et \xi \in ]a,x[, så

g'(\xi) = \frac{g(x)-g(a)}{x-a},

hvor g'(\xi) \not= 0, g(a)=0 og x-a \not= 0, så g(x) \not= 0, hvorfor brøken \frac{f(x)}{g(x)} er defineret. At vise at denne brøk har en grænseværdi, er det samme som at vise, at

\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : a < x < a + \delta \Rightarrow \left| \frac{f(x)}{g(x)} - c \right| < \epsilon.

Det vides imidlertid, at

\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : a < x < a + \delta \Rightarrow \left| \frac{f'(x)}{g'(x)} - c \right| < \epsilon,

og det påstås, at samme \delta afparerer begge \epsilon. da f(a)=g(a)=0, gælder

\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)},

og ifølge Cauchys middelværdisætning, eksisterer et d \in ]a,x[, så ovenstående er lig \frac{f'(d)}{g'(d)}, men da a < d < x < a+\delta, gælder

\left|\frac{f(x)}{g(x)}-c\right| = \left|\frac{f'(d)}{g'(d)}-c\right| < \epsilon,

hvilket var hvad, der skulle vises. Q.E.D. Bevisgangen for x \to a^- er stort set identisk med denne.

Reglen om 0/0-udtryk, når x går mod uendelig[redigér | redigér wikikode]

Antag, at f og g er definerede på intervallet ]a,\infty[ og f(x) \to 0 for x \to \infty og g(x) \to 0 for x \to \infty. Så gælder et lignende resultat som det forrige, hvis brøken \frac{f'(x)}{g'(x)} har en grænseværdi. Hvis \frac{f'(x)}{g'(x)} \to c for x \to \infty gælder nemlig \frac{f(x)}{g(x)} \to c for x \to \infty, uanset om c = \pm \infty eller c \in \mathbb{R}.

Reglen om \infty/\infty-udtryk[redigér | redigér wikikode]

Antag, som ved den første regel, at f og g er definerede nær et punkt a, men denne gang at både f(x) og g(x) går mod \infty for x \to a. Som ved de forrige er resultatet, at hvis \frac{f'(x)}{g'(x)} \to c for x \to a, gælder \frac{f(x)}{g(x)} \to c for x \to a. Som tidligere kan c både være et reelt tal eller plus eller minus uendelig, og resultatet gælder også, hvis x \to a^+, x \to a^- og x \to \infty.