Lineær funktion

I matematikken er en lineær transformation (også kaldet en lineær afbildning eller en lineær operator) en funktion mellem to vektorrum, der bevarer vektoraddition og skalarmultiplikation. Med andre ord bevarer den linearkombinationer.

I abstrakt algebra er en lineær transformation en homomorfi af vektorrum.

Definition og første følger

Hvis V og W er vektorrum over det samme legeme K, siges f : V → W at være en lineær transformation, hvis der for alle vektorer x og y i V og alle skalarer a i K gælder, at

$f(x+y)=f(x)+f(y)\,$

$f(ax)=af(x)\,.$

Dette er ækvivalent med at sige, at f bevarer linearkombinationer, hvilket vil sige, at der for alle vektorer x₁, ..., x_m i V og skalarer a₁, ..., a_m i K gælder, at

$f(a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m})=a_{1}f(x_{1})+\cdots +a_{m}f(x_{m}).$

Det hænder, at V og W betragtes som vektorrum over forskellige legemer. Da er det normalt at specificere hvilket af disse legemer, der brugtes til at definere, at transformationen var lineær. Hvis V og W betragtes som K-vektorrum som ovenfor, taler man typisk om K-lineære afbildninger. Eksempelvis er konjugeringen af komplekse tal en R-lineær afbildning C → C, men den er ikke C-lineær.

Det følger af definitionen, at f(0) = 0, hvorfor lineære transformationer til tider kaldes homogene lineære transformationer.

Eksempler

• Hvis A er en m × n-matrix over R, definerer A en lineær transformation fra Rⁿ til R^m ved at sende søjlevektoren x ∈ Rⁿ i søjlevektoren Ax ∈ R^m. Enhver lineartransformation mellem endeligdimensionale vektorrum opstår således.
• Integralet danner en lineær afbildning fra rummet af alle reelle integrable funktioner defineret på et vilkårligt interval til R.
• Differentiation er en lineær transformation fra rummet af alle differentiable funktioner til rummet af alle funktioner.

Se også

• Kompakt lineær operator