Matematik

Matematik (fra oldgræsk μάθημα, máthēma: det jeg lærte, at lære^[1]; μαθηματικός mathēmatikós: glad for at lære^[1]) er studiet af mønstre i mængde, struktur, ændringer og rummet.

Definition

Matematikken er en deduktiv og abstrakt videnskab, som bygger på logiske metoder. I den moderne definition er det undersøgelsen af aksiomatisk definerede abstrakte strukturer ved brug af logik, som er det fælles udgangspunkt. De specifikke strukturer, der undersøges, har ofte deres udgangspunkt i naturvidenskaben, oftest i fysikken. Men i modsætning til naturvidenskaben beskriver matematikken en uvirkelig ideel verden, hvor for eksempel rette eller parallelle linjer findes modsat den virkelige verden. Matematikere definerer og undersøger også strukturer udelukkende af hensyn til matematikkens udvikling af egene regler, for eksempel fordi de finder ud af, at en struktur giver en samlende generalisering, eller at der findes et værktøj, der kan hjælpe i flere forskellige grene af matematikken.

Historie

Uddybende artikel: Matematikkens historie

Historisk set er matematikken opstået ud fra behovet for at lave beregninger i handel, for at opmåle land og for at forudsige astronomiske begivenheder. Disse tre behov kan groft relateres til en bred underopdeling af matematikken i studiet af struktur, rum og ændring.

Strukturer

Studiet af struktur starter med tallene, i begyndelsen de velkendte naturlige tal og heltallene. De regler, der gælder for aritmetiske operationer, er optegnet i elementær algebra, og de dybere egenskaber ved heltallene studeres i talteorien. Undersøgelsen af metoder til at løse ligninger fører til studiet af abstrakt algebra. Det for fysikerne vigtige begreb vektorer, der er generaliseret til vektorrummet og studeret i lineær algebra, tilhører de to grene struktur og rum.

Geometri

Studiet af rummet starter med studiet af geometri, først den euklidiske geometri og trigonometri i det sædvanlige tredimensionale rum, men senere også generaliseret til ikke-euklidisk geometri som spiller en central rolle i den generelle relativitetsteori. De moderne områder differentialgeometri og algebraisk geometri generaliserer geometri i forskellige retninger: differentialgeometri fremhæver begreberne koordinatsystemer, glathed og retning, mens geometriske objekter i algebraisk geometri beskrives som løsninger til et sæt af ligninger. Gruppeteori undersøger på en abstrakt måde begrebet geometri og giver en sammenhæng mellem studiet af rum og struktur. Topologi giver en sammenhæng mellem studiet af rum og studiet af ændring ved at fokusere på begrebet kontinuitet.

Infinitesimalregning

At forstå og beskrive ændringer i målelige størrelser er det centrale emne i naturvidenskab, og infinitesimalregningen er udviklet som et særdeles brugbart værktøj til at gøre præcis det. Det centrale begreb, man bruger til at beskrive en variabel, der ændrer sig, er en funktion. Mange problemer leder helt naturligt til relationen mellem mængde og størrelsen af dens ændring, og metoderne til at løse disse er studeret i emnet differentialligninger. Tallene, man bruger til at repræsentere kontinuerlige mængder, er de reelle tal, og det detaljerede studium af deres egenskaber er kendt som reel analyse. Af forskellige årsager er det bekvemt at generalisere til komplekse tal, som studeres i en kompleks analyse. Funktionalanalyse fokuserer på et (typisk uendeligt-dimensionalt) rum af funktioner, som danner basis for blandt andet kvantemekanik.

Computernes indflydelse

For at tydeliggøre og undersøge matematikkens fundament udviklede man områderne mængdeteori, matematisk logik og modelteori.

Da computere i sin tid blev opfundet, blev flere omkringliggende problemer tacklet af matematikere, og det ledte til områderne beregnelighed og informationsteori. Mange af disse spørgsmål er nu undersøgt under teoretisk datalogi.

Computere har også hjulpet til ved emner som kaosteori, som handler om at mange dynamiske systemer i naturen adlyder love, der gør, at deres adfærd bliver uforudsigelig i praksis, selvom det er deterministisk i teorien. Kaosteori er tæt forbundet med fraktal geometri.

Anvendt matematik

Uddybende artikel: Anvendt matematik

Et vigtigt område i anvendt matematik er sandsynlighedsregning, som muliggør beskrivelse, analyse og forudsigelse af tilfældige fænomener og er brugt i alle videnskaber.

Numerisk analyse undersøger metoder til at udføre beregninger på computer.

Den følgende liste af emner repræsenterer én måde at organisere matematikkens grene på:

Emneoversigt

Herunder følger en detaljeret emneoversigt.

Mængde

$1,2,\ldots$	$-1,0,1,\ldots$	${\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},0.125,\ldots$	$\pi ,e,{\sqrt {2}},\ldots$	$i,3i+2,e^{i\pi /3},\ldots$
Naturlige tal	Heltal	Rationale tal	Irrationale tal	Komplekse tal

Tal – Naturlige tal – Heltal – Rationale tal – Reelle tal – Komplekse tal – Kvaternioner – Okternioner – Sedenioner – Hyperreelle tal – Surreelle tal – Ordinaltal – Kardinaltal – Heltalsfølge – Matematiske konstanter – Talnavne – Uendelig

Ændring

$36\div 9=4$			$\int 1_{S}\,d\mu =\mu (S)$
Aritmetik	Infinitesimalregning	Vektoranalyse	Analyse
${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}y={\frac {d}{dx}}y+c$
Differentialligninger	Dynamiske systemer	Kaosteori

Infinitesimalregning – Vektoranalyse – Matematisk analyse – Differentialligninger – Dynamiske systemer – Kaosteori – Funktioner

Struktur


Abstrakt algebra	Talteori	Gruppeteori

Topologi	Kategoriteori	Ordenteori

Abstrakt algebra – Talteori – Algebraisk geometri – Gruppeteori – Matematisk analyse – Topologi – Lineær algebra – Grafteori – Universel algebra – Kategoriteori

Rum


Topologi	Geometri	Trigonometri	Differentialgeometri	Fraktalgeometri

Topologi – Geometri – Trigonometri – Algebraisk geometri – Differentialgeometri – Differentiel topologi – Algebraisk topologi – Lineær algebra

Diskret matematik

$[1,2,3][1,3,2]$ $[2,1,3][2,3,1]$ $[3,1,2][3,2,1]$
Kombinatorik	Mængdeteori	Beregnelighed	Kryptologi	Grafteori

Kombinatorik – Mængdeteori – Sandsynlighedsregning – Statistik – Beregnelighed – Diskret matematik – Kryptologi – Grafteori – Spilteori

Anvendt matematik

Mekanik – Numerisk analyse – Optimering – Sandsynlighed – Statistik

Se også

Yderligere litteratur

Davis, Philip J.; Hersh, Reuben: The Mathematical Experience. Birkhäuser, Boston, Mass., 1980. En skånsom introduktion til matematikkens verden.
Rusin, Dave: The Mathematical Atlas, http://www.math-atlas.org. En tur gennem de forskellige grene i moderne matematik.
Weisstein, Eric: World of Mathematics, http://www.mathworld.com. En online encyklopædi om matematik.
Planet Math, http://planetmath.org. En online encyklopædi om matematik under konstruktion. Bruger GNU Free Documentation License, så det tillader importering til Wikipedia. Bruger TeX markup.
Mathematical Society of Japan: Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd ed. MIT Press, Cambridge, Mass., 1993. Definitioner, teoremer og referencer.
Michiel Hazewinkel (ed.): Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers 2000. En oversat og udvidet version af den sovjetiske matematik encyklopædi, i ti (store) bøger, det mest komplette og autoritative værk der er tilgængeligt. Også som paperback og på CD-ROM.
Gullberg, Jan: Mathematics—From the Birth of Numbers. W.W. Norton, 1996. Et encyklopædisk overblik over matematikken i et nutidigt og simpelt sprog

Henvisninger

^ ^a ^b Liddell, H.G. & Scott, R. (1940). A Greek-English Lexicon. revised and augmented throughout by Sir Henry Stuart Jones. with the assistance of. Roderick McKenzie. Oxford: Clarendon Press.

Eksterne henvisninger

[Liddell_&_Scott-1] Liddell, H.G. & Scott, R. (1940). A Greek-English Lexicon. revised and augmented throughout by Sir Henry Stuart Jones. with the assistance of. Roderick McKenzie. Oxford: Clarendon Press.

[1]