Metrik (matematik)

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

En metrik er i matematikken en generaliseret måde at definere afstande på. Metrikken defineres som en funktion der tager to elementer fra en mængde S, og giver "afstanden" mellem dem som et reelt tal. Et par (S,d) bestående af en mængde S og en metrik dS kaldes et metrisk rum.

Formel definition[redigér | redigér wikikode]

En metrik er en funktion d: S \times S \rightarrow \mathbb{R}_0^+, opfylder kravene

  1. d(a,b) \geq 0; d(a,b) = 0 \Leftrightarrow a=b
  2. d(a,b) = d(b,a) (symmetri)
  3. d(a,c) \leq d(a,b) + d(b,c) (trekantsuligheden)

- hvor a, b og c er elementer i S. Det første krav siger blot at afstanden er positiv; og at hvis den er nul er elementerne ens. Den anden siger så at sige at "frem og tilbage er lige langt". Den sidste siger at hvis man går fra a til c via b, så har man gået længere end hvis man gik direkte til c.

Eksempler[redigér | redigér wikikode]

Et eksempel kunne være at S er mængden af punkter i planen, og at d er den sædvanlige afstand. Så er afstanden fra punktet a=(ax,ay) til punktet b=(bx,by)

d(a,b)=\sqrt{(b_x-a_x)^2+(b_y-a_y)^2}

Dette er imidlertid ikke den eneste mulige metrik. F.eks. kunne man bruge

d(a,b)=|b_x-a_x|+|b_y-a_y|

Dvs. man bare tager forskellen i x-koordinaterne og lægger sammen med forskellen i y-koordinaterne.