Model (matematik)

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
Disambig bordered fade.svg For alternative betydninger, se Model. (Se også artikler, som begynder med Model)

En matematisk model er en overførsel af nogle virkelige forhold til en beskrivelse, som kan analyseres med matematik. Typisk vil der indgå en forsimpling af de virkelige forhold, for at det bliver muligt at beskrive dem matematisk.

Eksempel[redigér | redigér wikikode]

Et eksempel på en matematisk model er Newtons love. Her kan bevægelsen af et objekt beskrives ved hjælp af hvilke kræfter, der virker på det. Lovene anvendes forsat den dag i dag. Relativitetsteorien udvider vores forståelse af naturlovene idet Newtons love ikke gælder når man for eksempel nærmer sig lysets hastighed.

Brug af matematiske modeller[redigér | redigér wikikode]

Matematiske modeller anvendes inden for de fleste naturvidenskabelige fagområder. I stor udstrækning ligger der matematiske modeller bag den økonomiske og politiske styring af samfundet. Matematiske modeller er også fundamentale i teknologiske konstruktioner og for beskrivelsen af den fysiske og biologiske omverden lige fra energiforsyning over miljøspørgsmål til fiskerimodeller.

Vejrforudsigelser, finansieringsteori og demografiske modeller bygger ligeledes alle på avancerede anvendelser af matematik.

Bygning af matematiske modeller[redigér | redigér wikikode]

Broom icon.svg Denne artikel behøver tilrettelse af sproget.
Sproget i denne artikel er af lav kvalitet på grund af stavefejl, grammatikfejl, uklare formuleringer eller sin uencycklopædiske stil.
Du kan hjælpe Wikipedia ved at forbedre teksten.
Afsnittet skal omskrives til encyklopædisk stil, muligvis afkortes, savner oprydning af referencer og links, math-formatering, mm.

Processen med at lave beregninger på problemstillinger fra virkelighedens verden kaldes matematisk modellering. Modeller er jo netop en efterligning af virkeligheden. Man får ikke det hele med. Modeller er forsimplinger, der fokuserer på det vigtigste. Dette er helt naturligt og nødvendigt i modelbygningen.

I denne artikel præcenteres det sprog, der anvendes i denne proces, så man kan begynde at tale om, hvad der sker i modelbygningen. Det er oplagt, at nogle modeller er ”bedre” end andre. Nogle modeller kan give mere sikre og præcise resultater end andre. Hvis de fysiske modeller var lige så usikre som vejrforudsigelser var det aldrig lykkedes at sende astronauter til månen. Men hvori består forskellen på de fysiske modeller for sted, hastighed og acceleration og så vejrmodellerne? Forklaringen skal findes i de forskellige faser, der gennemløbes i modelbygningen. Det er faser som: systembeskrivelse, matematificering, abstraktion, idealisering, estimering, verifikation og validitet. Disse begreber præsenteres i denne artikel.

Processen i bygning af en matematisk model

For at holde fokus på de præsenterede begreber er der bevidst valgt meget simple eksempler, så kendskab til lineære og eksponentielle funktioner er nok for at kunne følge de matematiske ræsonnementer. Det er ikke matematikken, der er det vigtige i artiklen.

De seks faser i arbejdet med matematiske modeller[redigér | redigér wikikode]

Matematiske modeller er forsøg på at beskrive et fænomen i den virkelige verden ved hjælp af det matematiske sprog. Ved at benytte de matematiske værktøjer, og begreber kan man beskrive et område, som interesserer os. Formålet kan enten være at forstå nogle sammenhænge i det fænomen, som man beskriver, eller det kan være at få forskellige løsningsforslag til at løse et problem. Her er nogle helt konkrete eksempler på fænomener, som man kan belyse ved hjælp af matematik.

  1. EU skal fastsætte kvoter for hvor meget fiskeri, som kan tillades i de europæiske farvande. Ved at beskrive fiskebestandene og deres indbyrdes påvirkninger kan man beregne konsekvenserne af forskellige fiksekvoter for den fremtidige udvikling af fiskebestandene.
  2. Et flyselskab skal vurdere, hvordan de bedst tilrettelægger flyvninger med de fly, som de har til rådighed, til de destinationer, som de flyver til og med de passagermængder, som har købt billetter. Desuden skal de på den baggrund maksimere det overskud, som selskabet forventer at få af deres investerede kapital.
  3. Regeringen skal for næste års finanslov fastlægge nogle rammer for landets økonomi. Som en del af debatten og forhandlingerne mellem de forskellige partier indgår også konsekvensberegninger af forskellige lovforslag. Disse beregninger er foretaget i store komplekse matematiske modeller, der simulerer landes økonomi.

Anvendelsen af matematik, som beskrivelse af et fænomen i den virkelige verden, kaldes matematiske modeller. Ved at bruge ordet model understreges også, at det netop ikke er hele virkeligheden, som beskrives. En model er jo netop forskellig fra virkeligheden. Kort fortalt så beskriver man virkeligheden med matematik fx i matematiske ligninger, laver beregninger på ligningerne, og så tager man løsningen og fører det matematiske svar tilbage til det oprindelige problem og kommer med løsningsforslag baseret på beregningerne. Det er denne proces, som udfoldes i det følgende.

Eksempel 1: Pris for at køre i taxa[redigér | redigér wikikode]

Problem

Man vil gerne kunne beregne, hvor meget en tur i taxa koster afhængig af, hvor mange kilometer man kører. Man vil fx gerne kunne svare på:

  1. Hvad koster en tur på 43 km?
  2. Hvor langt kan man køre for 453 kroner?
Systemet

Man skal nu beskrive det system, som man ønsker at lave en model for. Man vælger at beskrive prisen for en tur i taxa, som om den kun afhænger af de kørte kilometer. I virkeligheden koster det ekstra for brugen af cykelstativ, nattakst og for den brugte tid, men det vælger man fra i systembeskrivelsen. Systemet er kendetegnet ved (bestemt af) de eksogene variable. I dette eksempel er det startgebyret og kilometer prisen. Den endogene variabel er den variable, der beregnes i (bestemmes af) modellen. I dette eksempel er det den afhængige variabel (prisen).

Matematificering

Nu oversæter man systembeskrivelsen til et matematisk sprog. Det er oplagt at lave en funktion taxa_pris(x), der bestemmer prisen for at køre x kilometer i taxaen.

I systembeskrivelsen har man fravalgt at medtage nattakst og minuttakst. Derfor kan man nøjes med en funktion af én variabel. Man har foretaget en abstraktion ved at fravælge nogle ting, som i den virkelige verden faktisk påvirker prisen.

Prisen for at køre i taxa i modellen bestem af to faktorer: Prisen per kørt kilometer kaldet p og startgebyret g. De to tal er bestemt af udefra kommende faktorer. Det kan være firmaet, der laver en takstændring, eller det kan være staten, der pålægger branchen en afgift. Tallene p og g er derfor eksogene variable; bestem af ydre faktorer.

Prisen stiger lineært med antal kørte kilometer. For hver kørt kilometer bliver prisen p kroner dyrere. Begyndelsesprisen er g kroner. Funktionen taxa_pris(x) er derfor:

taxa_pris(x) = p*x + g hvor 0 < x

Man har også lavet en idealisering ved at sige, at prisen vokser lineært med det kørte kilometertal. Man har fraregnet at de kørte minutter også påvirker prisen og nattakst samt brug af cykelstativ er heller ikke medtaget.

Beregninger

For at kunne foretage egentlige beregninger er man imidlertid nødt til at gøre modellen klar. De eksogene variable, som i denne taxa model er prisen per kørt kilometer p og startgebyret q, kan man nemt fastlægge ved fx at ringe til et lokalt taxafirma. De vil så svare, at de regner med en kilometerpris på 17 kr/km og et startgebyr på 48 kr. Men de vil også svare, at nu skal man huske nattakst og gebyr for brug af cykelstativ osv. osv. I denne model har man dog valgt at se bort fra disse beløb (at abstrahere fra dem) og derfor er man kun interesseret i at p=17 kr/km og q=48kr. Denne proces, som i taxa eksemplet er meget simpelt, kaldes for estimering af modellens parametre. Ofte er denne proces mindst lige så kompliceret som at opstille selve modellen, men her er det altså meget enkelt.

Nu er modellen klar til at kunne lave beregninger på. I et mere realistisk eksempel end taxa eksemplet vil man dog gerne sikre sig, at modellens beregninger svarer til de observationer, som man kan finde ude i den virkelige verden. Man skal sammenligne modelberegningerne med resultater fra den virkelige verden. Dette er ofte ganske indviklet og for nogle matematiske modeller helt umuligt. Det at sammenligne modellens resultater med virkeligedens data kaldes for verificering. Ordet verificering betyder at efterprøve rigtigheden af noget, og det er jo lige præcist det, som man ønsker for at sandsynliggøre, at modellen er brugbar. Man kan desværre aldrig bevise, at den er korrekt, men jo grundigere man er med verificeringen jo mere tillid kan man have til modellen. Der er mange elementer i at sandsynliggøre, at modellen er troværdig. Hvis modellen bygger på en anerkendt teori, fx en videnskab, som man har stor erfaring med, hvis man bruger modellen til beregninger, hvor man har erfaring for, at modellen normalt giver gode resultater vil man normalt gå ud fra, at resultaterne fra modellen har høj validitet. Begrebet validitet betegner modellens troværdighed. Jo højere validitet desto mere tillid kan man have til modellen og desto større vægt kan modellens resultater have på at opstille forslag til at løse det problem, som var starten på hele opgaven med at opstille modellen.

Løsninger

Nu, efter flere siders snak, kan man nu begynde at besvare spørgsmål på basis af den matematiske model.

Det første spørgsmål er: Hvad koster en tur på 43 km? For det første skal man bemærke, at de 43 km ligger inden for den definitionsmængde, som er opstillet for modellen. Man kan så sætte x=43 km og beregne taxa_pris(43).

taxa_pris(43) = 17*43 + 48 = 779

Det andet spørgsmål lyder: Hvor langt kan man køre for 453 kroner? I dette tilfælde svarer det til, at man kender modellens y-værdi eller funktionsværdi og man vil gerne undersøge hvilket x, der kan sættes ind i funktionen, så det giver 453. Man ønsker derfor at løse ligningen:

taxa_pris(x) = 453 eller 17x + 48 = 453

Ved at løse den findes at x = 23,284

De to resultater man har fundet (altså taxa_pris(43) = 779 og x = 23,284) er matematiske resultater. De skal oversættes til et sprog, som svarer til virkelighedens sprog. Og som derfor er svar på de problemer, som man startede med. I dette eksempel kunne det være:

  1. Det koster 779 kroner at køre 43 km.
  2. Man kan køre 23,284 km for 453 kroner.

Eksempel 2: Længden af en gedde[redigér | redigér wikikode]

Dette eksempel er inspireret af http://www.dfu.min.dk/fiskepleje

Problem

Man vil gerne kunne beregne længden af en gedde i Skjern Å som en funktion af geddens alder. Man vil fx gerne kunne svare på:

  1. Hvor lang er en gedde på 4 år?
  2. Hvor gammel er en gedde på 35 cm?
Systemet

Man skal nu beskrive det system, som man ønsker at lave en model for. Der er mange forhold, der påvirker en geddes længde. Modellen kan derfor naturligvis kun beskrive en gennemsnitsgedde. Forhold som fødemængde, temperatur, geddens forældres længde, størrelsen af den plads, der er i åen, kan tænkes at påvirke geddens alder. I systembeskrivelsen vælges, at sige, at kun geddens alder bestemmer længden. Der er derfor en stor grad af abstraktion fra konkrete forhold og modellen beskriver kun en gennemsnitsgedde. Systemet er derfor fastlagt af de eksogene variable, der er bestemt af alle mulige tænkelige forhold, men hvordan de i dette eksempel er påvirket af forældre, føde, plads ser man bort fra. De endogene variable er de variable, der bliver beregnet i modellen. Også kaldet de afhængige variable. I dette eksempel er den afhængige variabel (længden).

Matematificering

Nu skal man gå fra systembeskrivelsen til den matematiske beskrivelse. Man ønsker at beskrive længde som funktion af tid. Gedde_længde(t).

I systembeskrivelsen har man besluttet at se bort fra, hvordan plads, føde og forældre konkret har indflydelse på geddens alder, så modellen bliver en beskrivelse af en gennemsnitsgedde i åen. Man har dermed lavet en abstraktion ved at fravælge nogle ting, som i den virkelige verden faktisk påvirker en rigtig geddes længde.

Baseret på erfaring fra andre biologiske målinger ved biologerne, at vækst ofte kan beskrives ved denne funktion:

gedde_længde(t) = L*(1-v*e-p*t) L, v og p er alle positive

hvor t er tiden målt i år, L er geddens forventede maksimale længde i centimeter, v og p er tal, der afhænger af de bestemte forhold i åen.

Man laver hermed en idealisering ved at ”gætte” på, at en gedde vokser som mange andre dyr og derfor passer til denne vækstligning.

Beregninger

Tallene L, v og p skal bestemmes for at kunne foretage beregninger på modellen. Dette kaldes for estimering af modellens parametre. I denne situation vil biologerne i praksis tage ud til åen og fange et antal gedder. Herefter måles fiskenes alder og deres længde, og der laves regression på de indsamlede data. Herefter kan for gedder i Skjern Å bestemmes til

L=114,6; v=0,927 og p=0,14

Nu kan man foretage beregninger på modellen. For et vurdere om modellen er brugbar i virkeligheden skal man dog sammenligne den med nogle rigtige tal for gedder. Denne proces hedder at verificere modellen. Men det var jo også den måde, som man brugte til at bestemme L, v og p. Derfor er det svært at vurdere modellens validitet. Validiteten bliver dog styrket af, at biologerne har god erfaring for at denne form for vækstmodel ofte kan beskrive dyrs vækst.

Løsninger

Først nu er det relevant at begynde at anvende modellen til at svare på de stillede spørgsmål.

De to spørgsmål er:

  1. Hvor lang er en gedde på 4 år?
  2. Hvor gammel er en gedde på 35 cm?

Svaret på det første spørgsmål findes ved gedde_længde(4) og det andet spørgsmål ved at løse ligningen gedde_længde(t)=35.

Svarene er:

  1. gedde_længde(4) = 53,9
  2. gedde_længde(t)=35 har løsningen t = 2,06.

Det er imidlertid svar skrevet i et matematisk sprog. For biologerne er det vigtigt at oversætte de matematiske beregninger til et biologisprog. Så de endelige svar på spørgsmålene er:

  1. En gedde på 4 år i Skjern Å er ca. 54 cm.
  2. Og en gedde fra Skjern Å på 35 cm kan anslås at være 2 år gammel.

Eksempel 3: Indiske drengebørns højde[redigér | redigér wikikode]

Dette eksempel er inspireret af http://adoptmed.org/topics/growth-charts.html

Problem

Man vil gerne kunne beregne højden af et barn født af indiske forældre og opvokset i Indien. Man vil fx gerne kunne svare på:

  1. Hvor høj er en dreng på 7 år?
  2. Hvor gammel er en dreng på 100 cm?
Systemet

Man skal nu beskrive det system, som man ønsker at lave en model for. På samme måde som i ovenstående eksempel er der mange forhold, der gør sig gældende og man er nødt til at være mere præcis for, hvordan man vil gribe det an. Der er jo stor individuel variation. Praksis indenfor lægevidenskaben er at man taler om median for børnenes højde som et udtryk for, hvordan deres højder udvikler sig. Et andet spørgsmål er, hvad mener man med drenge? Er det op til 16 år, 18år eller 20år. Og hvor gammel er man, når man er dreng? 0 måneder, 6 måneder 1 år?

Min systembeskrivelse kan derfor blive for denne opgave: Man ønsker at beskrive højdeudviklingen (defineret som medianen) for indiske skolebørn (5-15 år).

På samme måde som i ovenstående eksempel er der mange faktorer, der kan påvirke en drengs højde. Medfødte og sociale faktorer spiller ind. Dette ønsker man ikke at bygge ind i modellen, men man vil blot beskrive en gennemsnitlig udvikling målt ved medianen. Det er derfor en markant afgrænsning af systemet, at påstå, at et barns udvikling kun afhænger af dets alder, men det accepterer jeg, fordi man kun ønsker en generel model og ikke en model for et enkelt barn. Den eneste eksogene variabel, som man medtager, er derfor tiden målt i år. Den eneste endogene variable er højden målt i centimeter.

Matematificering

Nu skal man gå fra systembeskrivelsen til den matematiske beskrivelse. Man ønsker at beskrive højden som funktion af alder: højde(t).

I min systembeskrivelse har man besluttet at se bort fra hvordan det enkelte barns højde udvikler sig. Man har derfor foretaget en abstraktion ved at fravælge en lang række forhold.

Ved at se på målinger og vækstkurver for indiske børns højdeudvikling (http://www.indianpediatrics.net/mar2007/images/recom-4.jpg) kan man se, at i skolealderen 5-15 år er udviklingen (stort set) lineær. Derfor laver man en idealisering og vælger at beskrive væksten ved en lineær funktion:

højde(t) = tilvækst_på_et_år * t + højde_ved_fødsel

Det er en idealisering at vælge en lineær funktion, men den usikkerhed tager man med i forhold til hvor praktisk den er at regne med.

Beregninger

For at kunne lave beregninger på min model skal man have bestem de to parametre tilvækst_på_et_år og højde_ved_fødsel. Parametrene skal estimeres. Ved at lave en lineær regression på data (Mange detaljer her: http://adoptmed.org/topics/growth-charts.html), der findes i materialet kan man fastlægge parametrene:

tilvækst_på_et_år = 5,5 cm højde_ved_fødsel = 79,5 cm

Den kvikke læser studser naturligvis over højden ved fødsel som næsten 80 cm. Dette passer ikke med vores opfattelse af, at børn er betydeligt lavere, når de bliver født. Men her skal man huske, at vores model kun er ”bygget” til at kunne bruges på skolebørn. Dvs. i alderen 5-15 år. Man kan derfor ikke bruge modellen til at beregne højden ved t=0 svarende til højden ved fødsel. Modellen kan derfor beskrives matematisk som:

højde(t) = 5,5 * t + 79,5 hvor 5 < t < 15

Modellen er bygget på data fra en stor mængde indiske drenge, men det er svært at sige at det er en god model fordi den samtidig kun er lavet som en efterligning af disse data og ikke bygget på lægevidenskabelige fakta, der siger, at mennesket udvikler sig med en lineær højdetilvækst i det 5-15 leveår. Men man kan konstatere, at modellen efterligner virkelige data og modellens validitet er derfor bestemt ud fra det. Det gør på den anden side, at man ikke kan overføre modellen til fx danske drenge. For hvem ved om de vokser på samme måde?

Verificeringen består derfor udelukkende i at sammenligne med virkelige data.

Løsninger

Som den sidste del af opgaven er så, at svare på de oprindelige spørgsmål, der lå til grund for at opstille modellen.

De to spørgsmål er:

  1. Hvor høj er en dreng på 7 år?
  2. Hvor gammel er en dreng på 100 cm?

Svarene kan umiddelbart findes ved beregninger i modellen. højde(7) - tallet 7 indsættes på t’s plads i modellen. Hermed fås højde(7)=118. Da alderen 7 år ligger inden for modellens gyldighedsområde, kan man regne med at resultatet er troværdigt hvis eller vores verificering af modellen viser, at modellen er god. Og svaret på det andet spørgsmål findes ved at løse ligningen højde(x)=100. Svaret er t=3,3. t=3,3 er imidlertid uden for modellens gyldighedsområde og resultatet skal derfor behandles med forsigtighed eller helt forkastes.

Disse svar er de matematiske svar. Oversat til den virkelige verdens sprog vil svarene lyde

  1. 50% af indiske drenge på 7 år vil have højden 118 cm eller der under. Forklaringen på denne besværlige formulering på 50% er, at tallene i modellen bygger på median tal for mange indiske drenge. Man kan derfor kun udtale on med en vis usikkerhed.
  2. For 50% af indiske dreng på 100 cm vil højden svare til en alder på 3,3 år, men resultatet ligger uden for modellens gyldighedsområde, og kan derfor som udgangspunkt ikke bruges.

Efterskrift[redigér | redigér wikikode]

Denne artikel har kun haft en meget begrænset fokus, når talen er på matematisk modellering. Man har alene præsenteret et sprog, som man kan benytte, når man skal tale om faserne i den matematiske modelleringsproces. Det gør det muligt at forklare i hvilke faser en konkret modelbygning går godt og bygger på et solidt videnskabeligt grundlag og i hvilke faser man er ude i gætteri. Sådan er al videnskab. Nogle gange bare mere and andre. Med denne artikel kan man let forklare hvornår det går godt og hvornår der kan optræde fejl.

Men når det kommer til at arbejde med matematiske modeller er der mange andre aspekter, der også kunne være en artikel værd.

En væsentlig grund - måske den væsentligste - til at udvikle en matematisk model er, at kunne træffe beslutninger på baggrund af modellens resultater. De eksempler på rigtige matematiske modeller, som man nævner i starten af denne artikel på side 2 er alle modeller, der skal danne grundlag for at træffe beslutninger. Men dermed indgår modelbygningen også i den demokratiske beslutningsproces og brugen af modeller bliver en magtfaktor. Fordi tal og beregninger bliver tillagt betydning og vægt i argumentationen. Teknologirådet har udgivet en artikelsamling om dette, som man henviser til i litteraturlisten.

Et andet meget interessant aspekt, som man kan beskæftige sig med er modellers type. Se mere om dette emne i Andersen 1980 m. fl. side 11 ff. og Hansen m. fl. 1996 side 87 ff.. Man kan skelne mellem modeller hvis formål det er at forstå/forklare/erkende og andre modeller hvis formål det er at beskrive eller forudsige. Den første type anvendes ofte til at teste en videnskabelig hypotese ved at undersøge om modellen kan forklare hvordan bestemte dele af systemet påvirker hinanden. Den anden type anvendes til at lave forudsigelser, der kan danne baggrund for at træffe beslutninger.

I modelsammenhænge skelnes desuden mellem begreberne validitet og reliabilitet. Validitet er modellens pålidelighed - tror vi på modellen?, bygger modellen på et solidt teoretisk grundlag eller er den blot en efterligning af nogle observerede data?. Reliabilitet er modellens præcision. Hvor nøjagtigt kan modellen beregne og reproducere kendte data - og dermed måske også reproducere ikke kendte data?

Andersen 1980 side 12 m. fl. nævner, at når det kommer til at vurdere modellers validitet kan man vurdere dem på en skala efter følgende validitetskriterier:

  1. Forventningsvaliditet: Modellens resultater er i rimelig overensstemmelse med, hvad der er forventet (af modellen eller af systemet).
  2. Reproduktionsvaliditet: Modellen kan reproducere data, som er kendt fra systemet (data er kendt ved opstilling af modellen).
  3. Forudsigelsesvaliditet: Modellen opfylder 1. og 2. og kan forudsige data, som kan findes i systemet. (Modellen er opbygget uden kendskab til eller uden udnyttelse af kendskabet til disse data).
  4. Strukturvaliditet. Udover at opfylde 1. 2. og 3. er modellens struktur en afspejling af systemets struktur.

Litteratur[redigér | redigér wikikode]

  • Andersen, Tommy R. m. fl.; ODIN Undervisningsmateriale til et kursus i differentialligningsmodeller, Tekster fra IMFUFA, Roskilde Universitetscenter, Nr. 29, 1980. http://milne.ruc.dk/ImfufaTekster/pdf/29.pdf
  • Blomhøj m. fl.; Modelsnak - differentialligningsmodeller, FAG, 1985
  • Dejgaard m fl.; Matematiske Aspekter; Trafikmodeller; Matematiklærerforeningen, 2001
  • Dræby m. fl.; ADAM under figenbladet - et kig på en samfundsvidenskabelig matematisk model, Tekster fra IMFUFA, Roskilde Universitetscenter, Nr. 299, 1995. http://milne.ruc.dk/ImfufaTekster/pdf/299.pdf
  • Hansen, Nina Skov; Modelkompetencer - udvikling og afprøvning af et begrebsapparat; Tekster fra IMFUFA, Roskilde Universitetscenter, Nr. 321, 1996. http://milne.ruc.dk/ImfufaTekster/pdf/321.pdf
  • Jensen, J. Højgaard; Matematiske Modeller - Vejledning eller vildledning II?; Gamma 72; 1988
  • Jensen, Kasper Bjering Søby; Anvendelse og modellering i matematik - et teoretisk blik; LMFK-bladet 2/2012 s. 27 ff.
  • Poulsen, Ebbe Thue; Matematiske Modeller, Introduktion til del af kurset ”Skolematematik”; Matematisk Institut, Aarhus Universitet; Februar 1994
  • Teknologirådet, Magt og modeller; Om den stigende anvendelse af EDB-modeller i de politiske beslutninger; 1995. http://www.tekno.dk/pdf/projekter/954.pdf