Nabla-operatoren

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
Scientist.svg Svært stof
Denne artikel omhandler svært stof. Der er endnu ikke taget hensyn til ikke-eksperter. Du kan hjælpe ved at skrive en letforståelig indledning.

Nabla-operatoren er i matematikkens verden en differentialoperator indenfor matematisk analyse med vektorer, repræsenteret ved symbolet nabla (∇).

Under normale omstændigheder kan man vælge at betragte Nabla-operatoren som en vektor, om end det er en noget speciel vektor.

I det tredimensionelle rum, \mathbb{R}^3, vil ∇ for et retvinklet koordinatsystem se således ud (i kartesiske koordinater):

 \nabla = \left( { \partial \over \partial x} , { \partial \over \partial y} , { \partial \over \partial z} \right)

Brug af Nabla[redigér | redigér wikikode]

Denne operator bruges i flere forskellige sammenhænge:

Gradient[redigér | redigér wikikode]

Den første type af brug er i forbindelse med bestemmelse af gradienten, der til en vis grad kan sammenlignes med differentialkvotienten af en funktion. Denne type beregning bruges ved funktioner af flere variable:

 \textrm{grad} f = \nabla f = \left( { \partial f \over \partial x} , { \partial f \over \partial y} , { \partial f \over \partial z} \right)

Divergens[redigér | redigér wikikode]

Divergensen af et vektorfelt \vec{v} = ( v_1 , v_2 , v_3 ) inkluderer også Nabla-operatoren, men ved denne type beregning bruges den som et skalarprodukt.

 \textrm{div} \vec{v} = \nabla \cdot \vec{v} = { \partial v_1 \over \partial x } + { \partial v_2 \over \partial y } + { \partial v_3 \over \partial z }

Rotation[redigér | redigér wikikode]

Rotationen af et vektorfelt v findes ved krydsproduktet mellem et vektorfelt og Nabla, og har således en vektor som resultat.

 \textrm{rot} \vec{v} = \nabla \times \vec{v} = \left(
{\frac{\partial v_3}{\partial y}} - {\frac{\partial v_2}{\partial z}},  
{\frac{\partial v_1}{\partial z}} - {\frac{\partial v_3}{\partial x}},
{\frac{\partial v_2}{\partial x}} - {\frac{\partial v_1}{\partial y}}
\right)

Laplace-operatoren[redigér | redigér wikikode]

Der findes endvidere en anden type af operator, kaldet Laplace operatoren der betegner hvad man kunne kalde den anden afledede. Denne noteres på følgende måder:

 \nabla^2 f = \Delta f = \nabla \cdot \nabla f

Definitioner[redigér | redigér wikikode]

Bevis:

For afbildningen f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}

Lad da \vec{V} = \nabla f = (f'_x , f'_y , f'_z)

Da er  \nabla \times \vec{V} = \nabla \times (\nabla f) =
( f''_{zy} - f''_{yz}, f''_{xz} - f''_{zx} , f''_{yx} - f''_{xy} ) = (0,0,0) = \vec{0}

Jævnfør at differentiationsrækkefølgen er ligegyldig ved mere end to afledninger.

  • Et rotationsfelt er divergensfrit

Bevis:

Givet et vektorfelt \vec{V} = (V_x,V_y,V_z)

Da vil: \nabla \times \vec{V} = \left(  { \partial V_z \over \partial y} - { \partial V_y \over \partial z} 
, { \partial V_x \over \partial z} - { \partial V_z \over \partial x} , { \partial V_y \over \partial x} - { \partial V_x \over \partial y} \right)

Og dermed:  \nabla \cdot ( \nabla \times \vec{V}) = 
\left(  { \partial V_z \over \partial y \partial x } - { \partial V_y \over \partial z \partial x } 
      + { \partial V_x \over \partial z \partial y } - { \partial V_z \over \partial x \partial y } 
      + { \partial V_y \over \partial x \partial z } - { \partial V_x \over \partial y \partial z } \right) = 0

Matematik Stub
Denne artikel om matematik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet, kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den.