Newtons metode

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
Én iteration med Newtons metode.

Newtons metode også kendt som Newton-Raphson metoden er en iterativ proces indenfor matematikken til bestemmelse af nulpunkter. Det vil altså sige at vi ønsker at bestemme en værdi af variablen x som vi kalder x* således at:

f(x^*) = 0 \;

Den iterative formel ser således ud, hvor f'(xn) angiver differentialkvotienten til den givne funktion:

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f^\prime (x_n)}

Denne formel kræver således at man selv kommer med ét startgæt x0.

Fordele og ulemper[redigér | redigér wikikode]

Ved Newtons metode er den primære fordel, i forhold til andre metoder, at metoden opfylder kvadratisk konvergens. Dette betyder at metoden under de rette omstændigheder konvergerer således at antallet af korrekte betydende cifre fordobles for hver iteration, som det også kan ses i eksemplet nedenfor.

Samtidig er der også visse ulemper ved metoden. Først og fremmest indgår differentialkvotienten til en funktion, som ikke nødvendigvis altid er lige let at bestemme. Desuden er metoden ikke altid helt pålidelig, og der findes eksempler hvor metoden aldrig vil konvergere.

Eksempel[redigér | redigér wikikode]

Vi betragter et problem hvor vi ønsker at bestemme det positive tal x hvor cos(x) = x3. Vi kan omformulere problemet til følgende nulpunktsproblem f(x) = cos(x) − x3 = 0. Når vi differentierer denne funktion får vi f '(x) = −sin(x) − 3x². Da cos(x) ≤ 1 for alle x og x3 > 1 for x>1, ved vi at vores nulpunkt ligger mellem 0 og 1. Vi forsøger med en startværdi af x0 = 0.5.

\begin{matrix}
  x_1 & = & x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} & = & 0.5 - \frac{\cos(0.5) - 0.5^3}{-\sin(0.5) - 3 \times 0.5^2} & = & 1.112141637097 \\
  x_2 & = & x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} & & \vdots & = & \underline{0}.909672693736 \\
  x_3 & & \vdots & & \vdots & = & \underline{0.86}7263818209 \\
  x_4 & & \vdots & & \vdots & = & \underline{0.86547}7135298 \\
  x_5 & & \vdots & & \vdots & = & \underline{0.8654740331}11 \\
  x_6 & & \vdots & & \vdots & = & \underline{0.865474033102}
\end{matrix}

De korrekte cifre er understreget i det ovenstående eksempel. I tilfældet x6 er x korrekt i alle de givne decimaler. Vi ser at antallet af korrekte decimaler stiger fra 2 (for x3) til 5 og derefter 10, som illustrerer den kvadratiske konvergens.

Se også[redigér | redigér wikikode]

Matematik Stub
Denne artikel om matematik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet, kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den.