Ordnet legeme

Et ordnet legeme er et legeme $(L,+,\cdot)$, hvor der eksisterer en delmængde $L_+ \subseteq L$ ("mængden af positive elementer"), så at de to følgende krav er opfyldt:

• Mængden $L_+$ er lukket under addition $+$ og multiplikation $\cdot$:
  • $\forall x,y \in L_+ : x+y \in L_+$
  • $\forall x,y \in L_+ : x\cdot y \in L_+$
• For et vilkårligt element $x$ i $L$ gælder netop ét af følgende udsagn (dette kaldes trikotomiloven):
  • $x \in L_+$
  • $x = 0$
  • $-x \in L_+$

Man kan herefter også definere eksempelvis mængden af negative elementer: $L_-:= L \setminus (L_+ \cup \{ 0\})$, og udlede nogle regneregler for eksempelvis addition og multiplikation af negative elementer.

Total ordning

Hvis man nu definerer relationen $\leq$ ved

$x \leq y \stackrel{def.}{\Leftrightarrow} y-x \in L_+$,

får man en total ordning på $L$. Det ses altså, at der er en nær forbindelse mellem opdeling i positive og negative elementer (og 0) og så, at finde en total ordning på en mængde.

Eksempler

Eksempler på ordnede legemer er de rationale tal og de reelle tal, hvor det umiddelbart er forståeligt, hvad de positive og negative elementer er.