Ordnet legeme

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Et ordnet legeme er et legeme (L,+,\cdot), hvor der eksisterer en delmængde L_+ \subseteq L ("mængden af positive elementer"), så at de to følgende krav er opfyldt:

  • Mængden L_+ er lukket under addition + og multiplikation \cdot:
    • \forall x,y \in L_+ : x+y \in L_+
    • \forall x,y \in L_+ : x\cdot y \in L_+
  • For et vilkårligt element x i L gælder netop ét af følgende udsagn (dette kaldes trikotomiloven):
    • x \in L_+
    • x = 0
    • -x \in L_+

Man kan herefter også definere eksempelvis mængden af negative elementer: L_-:= L \setminus (L_+ \cup \{ 0\}), og udlede nogle regneregler for eksempelvis addition og multiplikation af negative elementer.

Total ordning[redigér | redigér wikikode]

Hvis man nu definerer relationen \leq ved

x \leq y \stackrel{def.}{\Leftrightarrow} y-x \in L_+,

får man en total ordningL. Det ses altså, at der er en nær forbindelse mellem opdeling i positive og negative elementer (og 0) og så, at finde en total ordning på en mængde.

Eksempler[redigér | redigér wikikode]

Eksempler på ordnede legemer er de rationale tal og de reelle tal, hvor det umiddelbart er forståeligt, hvad de positive og negative elementer er.