Plan (matematik)

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

En matematisk plan er det fundamentale todimensionelle objekt. Det kan visualiseres som et fladt stykke papir, som breder sig uendeligt i alle retninger. De fleste trigonometriske, geometriske og grafiske operationer udføres i sådan en plan. I en given plan kan der introduceres et koordinatsystem, som gør os i stand til at referere til samtlige punkter i planen.

En plan kan defineres ud fra en af følgende metoder:

  • Tre punkter, som ikke ligger på linje.
  • En linje og et punkt, som ikke ligger på linjen.
  • En vektor, der står vinkelret på planen, og kaldes for normalvektor for planen og et punkt i planen.
  • To linjer, der enten skærer hinanden i et enkelt punkt, eller er parallelle uden at være kollineære.

Selve planen er repræsenteret ved planens ligning, som er:

ax + by + cz + d = 0 \,

hvor planen er orienteret vinkelret på normalvektoren givet ved koordinaterne \vec{n}=(a, b, c). Alle vektorer, som er parallelle med \vec{n} vil også være normalvektorer til planen. Planer med samme normalvektor, men med forskelligt d \,, vil være parallelle.


Hvis man ikke kender en normalvektor, kan den udregnes som krydsproduktet mellem to vilkårlige, egentlige vektorer i planen, som ikke er parallelle. Normalvektoren giver normalretningen for planen.

For at finde d \,, er man yderligere nødt til at kende et punkt P_0(x_0, y_0, z_0) \, i planen. Da er d = -ax_0 - by_0 - cz_0 \,

Planen der indeholder x- og y-akserne, kaldes x-y-planen og har ligningen z=0 \,. Tilsvarende gælder for x-z-planen med ligning y=0 \, og y-z-planen med ligning x=0 \,.

Et punkts afstand til planen[redigér | redigér wikikode]

Afstanden dist(P_1,\alpha) \, fra et vilkårligt punkt P_1(x_1, y_1, z_1) \, i vektorrummet til planen, \alpha \,, kan findes ved at indsætte koordinaterne for punktet i denne ligning:

dist(P_1,\alpha) = \frac{\vert ax_1 + by_1 + cz_1 + d\vert}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

hvor a, b, c \, og d \, er koefficienterne til planens ligning. Hvis punktet ligger i planen, er dist(P_1,\alpha) = 0 \,.


Andre betydninger[redigér | redigér wikikode]

For andre betydninger af ordet, se plan