Potensgennemsnit

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Potensgennemsnit er en generalisering af det aritmetiske gennemsnit, det harmoniske gennemsnit og det geometriske gennemsnit.

Definition[redigér | redigér wikikode]

For positive tal x1, x2, ..., xn, og for et reelt tal p forskelligt fra 0, defineres: 
M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n x_{i}^p \right)^{1/p}

Egenskaber[redigér | redigér wikikode]

  • M_p er en homogen funktion af x1, x2, ..., xn. Det betyder et der for ethvert positivt reelt tal b gælder:


b M_p(x_1,\dots,x_n)=M_p(b x_1,\dots,b x_n)

  • Hvis p<q så M_p(x_1,\dots,x_n)\le M_q(x_1,\dots,x_n) med lighed hvis og kun hvis x1=x2=...=xn.
  • Hvis man betragter M som en funktion af p, er funktionen kontinuert.

Specialtilfælde[redigér | redigér wikikode]

På grund af de tre grænseværdier kan man definere M_0(x_1,\dots,x_n)={G}, hvor G er det geometriske gennemsnit, samt M_{\infty}(x_1,\dots,x_n)=\max \{x_1,\dots,x_n\} og M_{-\infty}(x_1,\dots,x_n)=\min \{x_1,\dots,x_n\}