Potensgennemsnit

Potensgennemsnit er en generalisering af det aritmetiske gennemsnit, det harmoniske gennemsnit og det geometriske gennemsnit.

Definition

For positive tal x₁, x₂, ..., x_n, og for et reelt tal p forskelligt fra 0, defineres: $M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n x_{i}^p \right)^{1/p}$

Egenskaber

• $M_p$ er en homogen funktion af x₁, x₂, ..., x_n. Det betyder et der for ethvert positivt reelt tal b gælder:

$b M_p(x_1,\dots,x_n)=M_p(b x_1,\dots,b x_n)$

• Hvis p<q så $M_p(x_1,\dots,x_n)\le M_q(x_1,\dots,x_n)$ med lighed hvis og kun hvis x₁=x₂=...=x_n.
• Hvis man betragter M som en funktion af p, er funktionen kontinuert.

Specialtilfælde

• $M_{-1}(x_1,\dots,x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}$ - det harmoniske gennemsnit,
• $M_1(x_1,\dots,x_n) = \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$ - det aritmetiske gennemsnit (det normale gennemsnit),
• $M_2(x_1,\dots,x_n) = \sqrt{\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n}}$ - det kvadratiske gennemsnit,
• $\lim_{p\to-\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) = \min \{x_1,\dots,x_n\}$ - den mindste af x-værdierne,
• $\lim_{p\to0} M_p(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n}$ - det geometriske gennemsnit,
• $\lim_{p\to\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) = \max \{x_1,\dots,x_n\}$ - den største af x-værdierne.

På grund af de tre grænseværdier kan man definere $M_0(x_1,\dots,x_n)={G}$, hvor G er det geometriske gennemsnit, samt $M_{\infty}(x_1,\dots,x_n)=\max \{x_1,\dots,x_n\}$ og $M_{-\infty}(x_1,\dots,x_n)=\min \{x_1,\dots,x_n\}$