Potensrække

I matematikken er en potensrække (i en variabel) en uendelig række på formen

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(z-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(z-c)+a_{2}(z-c)^{2}+a_{3}(z-c)^{3}+\cdots ,$

hvor a_n er den n'te koefficient, c er en konstant, og z tager værdier omkring c (hvorfor man af og til taler om, at rækken har centrum i c). Tallene a_n, c og n er typisk reelle eller komplekse. Rækkerne opstår ofte som Taylorpolynomiet af en givet funktion.

I mange situationer er c lig nul; eksempelvis ved Maclaurinrækkerne. I disse tilfælde bliver rækken til det simplere

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots .$

Eksempler

Ethvert polynomium kan let udtrykkes som en potensrække med centrum i c. For eksempel kan polynomiet $f(x)=x^{2}+2x+3$ skrives som en potensrække med centrum $c=0$, idet

$f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots \,$

eller med centrum $c=1$ som

$f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots \,$

eller med et vilkårligt andet centrum. Man kan ofte betragte potensrækker som "polynomier af uendelig grad," selvom potensrækker ikke er polynomier.

Den geometriske række, hvor alle koefficienterne er lig 1,

${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,$

som er gyldig for $x\in \{z\in \mathbb {C} \mid |z|<1\}$ er en af de vigtigste eksempler på en potensrække. Det samme gælder eksponentialfunktionen

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots .$

Disse potensrækker er også eksempler på Taylorrækker. Der findes imidlertid også potensrækker, der ikke er Taylorrækken for nogen funktioner; eksempelvis

$\sum _{n=0}^{\infty }n!x^{n}=1+x+2!x^{2}+3!x^{3}+\cdots .$

Negative eksponenter tillades ikke i potensrækker – f.eks. betragtes rækken $1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots$ ikke som en potensrække (selv om det er en Laurentrække). På samme måde tillades ikke brøkeksponenter som f.eks. $x^{1/2}$ (se Puiseuxrække). Koefficienterne $a_{n}$ må ikke afhænge af $x$, så

$\sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \,$ er f.eks. ikke en potensrække.

Konvergensradius

En potensrække vil konvergere for bestemte værdier af variablen x (mindst for x = c), og kan divergere for andre. Der findes altid et tal r med 0 ≤ r ≤ ∞ sådan, at rækken konvergerer, når |x − c| < r og divergerer, når |x − c| > r. Tallet r kaldes rækkens konvergensradius; generelt er den givet ved

$r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}$

eller, ækvivalent,

$r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}$

(se limes superior og limes inferior). En lettere måde at beregne den, er

$r=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n} \over a_{n+1}}\right|,$

hvis denne grænse eksisterer.

Rækken konvergerer absolut for |x – c| < r, og den konvergerer uniformt på enhver lukket og begrænset delmængde af $\{x\mid |x-c|<r\}.$

For |x – c| = r er det ikke muligt at lave et generelt udsagn om, hvorvidt rækken konvergerer eller divergerer. Dog siger Abels sætning, at rækkens sum er kontinuert i x, hvis rækken konvergerer i x.