Reelle tal

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

De reelle tal, der skrives \mathbb{R} (Unicode ℝ), er alle tal, der kan skrives som en endelig decimalbrøk eller uendelig decimalbrøk, altså

q,d_1d_2d_3\ldots,

hvor q er et heltal, og decimalerne, d_1,d_2,\ldots er et af cifrene, 0,1,2,\ldots,9.

De reelle tal kan repræsenteres ved en kontinuert linje. Alle hele tal og alle brøker (rationale tal) er reelle tal, da de ligger et eller andet sted på den reelle tallinje.

Vi kalder mængden af tal, som er i de reelle tal, men ikke i de rationale tal, for de irrationale tal.

De reelle tal kan således deles op i to disjunkte mængder: de rationale tal og de irrationale tal.

Hvis vi med \mathbb{A} betegner mængden af alle de tal der er rødder i et polynomium med rationale koeffecienter, så har vi en anden disjunkt opdeling af de reelle tal, nemlig som de algebraiske tal, \mathbb{A}, og de transcendente tal, \mathbb{R} \setminus \mathbb{A}.

Konstruktion af de reelle tal[redigér | redigér wikikode]

De reelle tal kan konstrueres ved at man ser på ækvivalensklasser af Cauchyfølger af rationale tal; altså ved en fuldstændiggørelse af de rationale tal. En anden måde er ved at se på Dedekindsnit. Således bliver de reelle tal det op til isomorfi entydigt bestemte fuldstændigt ordnede legeme.

Man kan anskue det således, at selve konstruktionen (på den ene eller anden måde) bygger på tidligere viden – nemlig de rationale tal og i sidste ende mængdelæren – således at vi mindsker muligheden for at få nye paradokser ind i teorien (jf. Gödels ufuldstændighedsteorem), mens aksiomerne for et fuldstændigt ordnet legeme er en ønskeliste, som vi gerne så \mathbb R opfyldte – og som det også viser sig, at mængden gør.

Se også[redigér | redigér wikikode]

Commons-logo.svg
Wikimedia Commons har medier relateret til: