Simpel harmonisk bevægelse

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

En simpel harmonisk bevægelse er i fysikken en måde at beskrive bevægelse omkring en ligevægtstilstand eller oscillation. En kraft virker for at bringe det bevægede tilbage i ligevægtstilstanden, og for simple harmoniske bevægelser specifikt gælder det, at kraften er proportional med forskydningen. Noget, der foretager en harmonisk bevægelse, kaldes en harmonisk oscillator.[1]

Formeludledning[redigér | redigér wikikode]

Som det er givet i definitionen vil kraften virke modsat og proportionalt forskydningen af det oscillerende. Kraften er altså lig den negativ placeringsforskydning gange en proportionalitetskonstant:

F = -kx

Præcis den samme formel kendes fra Hookes lov, der bruges til at beskrive kraften i en fjeder som udstrækningen gangen fjederkonstanten. Et lod i en fjeder kan altså lave en simpel harmonisk bevægelse og omvendt kan simple harmoniske oscillatorer beskrives som masse-fjeder-systemer. Kraften i udtrykket kan imidlertid også skrive som masse gange acceleration, og yderligere kan acceleration skrives som position differentieret to gange. Man får:

F = -kx \Rightarrow ma = -kx \Rightarrow m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx

Derved fremkommer en lineær, homogen differentialligning. Løsningen er en funktion for placeringen, og den må således afspejle det periodiske i en funktion. En løsning er da også en sinusoidal funktion givet ved:

x(t) = A cos(\omega t)

Dette kan testes ved at indsætte den på x's plads i differentialligningen:

 m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx
\Downarrow
 m\frac{d^2}{dt^2}A cos(\omega t) = -kA cos(\omega t)
\Downarrow
 m(A \omega^2 (-cos(\omega t))) = -kA cos(\omega t)
\Downarrow
 -m \omega^2 A cos(\omega t) = -kA cos(\omega t)

Det ses, at ligningen er sand, når

 m \omega^2 = k

Ved omrokering af denne ligning får man:

 \omega^2 = \frac{k}{m} \Rightarrow \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}
 m = \frac{k}{\omega^2}

Omega symboliserer vinkelfrekvensen, der hænger sammen med frekvensen af bevægelsen ved

 \omega = 2\pi f[2]

Vinkelfrekvensen er altså er givet ved kvadratroden af fjederkonstant over massen, mens massen er givet ved fjederkonstant over vinkelfrekvensen kvadreret. Sidstnævnte sammenhæng anvendes i rummet, da vægtløsheden umuliggør en tyngdefeltsafhængig vægt.

Fodnoter[redigér | redigér wikikode]

  1. Wolfson, Richard. "Oscillations, Waves and Fluids", Essential University Physics (2. internationale udgave), Addison-Wesley 2007, San Francisco, s. 236. ISBN 978-0-321-76193-4.
  2. Wolfson, Richard. "Oscillations, Waves and Fluids", Essential University Physics (2. internationale udgave), Addison-Wesley 2007, San Francisco, s. 206-207. ISBN 978-0-321-76193-4.