Skalarprodukt

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Skalarprodukt eller prikprodukt er et begreb inden for matematikken, nærmere betegnet vektormatematik, og er et specialtilfælde af matrixproduktet. Skalarproduktet udgør et indre produktvektorrummene \mathbb{R}^n. Her vises som eksempel skalarproduktet af to tredimensionale vektorer:

 \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a}^T \vec{b}
=
\begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ \end{pmatrix}^T
\begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3\\ \end{pmatrix} 
=
\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3\\ \end{pmatrix} 
= a_1 b_1  + a_2 b_2 + a_3 b_3 
= \Vert\vec{a}\Vert \Vert\vec{b}\Vert \cos(\theta)

— hvor \theta er vinklen mellem de to vektorer. Resultatet af skalarproduktet er en skalar (et tal), deraf navnet, modsat krydsproduktet, hvor resultatet er en vektor.

De respektive informationer til skalarproduktet af to vektorer

Ud fra ovenstående lighedstegn kan skalarproduktet forklares som den størrelse der opnås ved at tage projektionen af den ene vektor ind på den anden, og gange med længden af den anden vektor.

En omskrivning af den ovenstående ligning viser at skalarproduktet kan anvendes til at bestemme cosinus til vinklen mellem to vektorer ud fra vektorernes koordinatsæt, samt deres længde:

\cos(\theta) =  {\vec{a}\cdot\vec{b} \over \Vert\vec{a}\Vert \Vert\vec{b}\Vert}

Generelt set er skalarproduktet på vektorrummet \mathbb{R}^n givet ved

\vec{a}\cdot\vec{b} = \sum_{i=1}^n a_i b_i.

Heraf ses bl.a. at skalarproduktet altid er symmetrisk, idet \vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a} for alle vektorer \vec{a} og \vec{b}, hvilket er et af kravene til et indre produkt.

Se også[redigér | redigér wikikode]