Substitutionsmetoden

Substitutionsmetoden, som også kaldes indsættelsesmetoden, er en metode indenfor matematikken til at løse $n$ ligninger med $n$ ubekendte. Således vil man kunne løse ligninger opstillet således:

$l_1:\;\;c_{1,1}x_1+c_{1,2}x_2+c_{1,3}x_3\cdots +c_{1,n}x_n=k_1$

$l_2:\;\;c_{2,1}x_1+c_{2,2}x_2+c_{2,3}x_3\cdots +c_{2,n}x_n=k_2$

$l_3:\;\;c_{3,1}x_1+c_{3,2}x_2+c_{3,3}x_3\cdots +c_{3,n}x_n=k_3$

$\vdots$

$l_n:\;\;c_{n,1}x_1+c_{n,2}x_2+c_{n,3}x_3\cdots +c_{n,n}x_n=k_n$

, hvor $\left\{c_{i,j}|i,j=1,2,3\dots n\right\},\left\{k_{i}|i=1,2,3\dots n\right\}$ betegner vilkårlige konstanter og $\left\{x_i|i=1,2,3\dots n \right\}$ betegner de variable.

Dog vil løsning af $n$ ligninger med $n$ ubekendte nemmest og hurtigst kunne løses vha. matematikkens lineær algebra.

Eksempel

Vi forsøger her med et eksempel:

Der er givet to ligninger af følgende form:

Ligning 1: $3x+2y=4$

Ligning 2: $4x+3y=7$

Ifølge metoden isoleres først x i ligning 1:

$\qquad 3x+2y=4 \quad \Leftrightarrow \quad 3x=-2y+4 \quad \Leftrightarrow \quad x=- \frac{2}{3} y + \frac{4}{3}$

Dette indsættes nu i ligning 2:

$4x+3y=7 \quad \Leftrightarrow \quad 4\left(- \frac{2}{3} y + \frac{4}{3}\right)+3y=7 \quad \Leftrightarrow \quad -\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}+ 3y=7 \quad \Leftrightarrow \quad$

$\frac{16}{3}-7 = - \frac{1}{3}y \quad \Leftrightarrow \quad -\frac{5}{3}=-\frac{1}{3} y \quad \Leftrightarrow \quad \frac{-5}{3}/\frac{-1}{3}=\frac{-5\cdot 3}{3\cdot-1}=\frac{-5}{-1}=y \quad \Leftrightarrow \quad y = \underline{\underline{5}}$

Dette kan nu sættes tilbage i udtrykket vi havde for x:

$x=- \frac{2}{ 3} y + \frac{4 }{3} = - \frac{2}{3} \cdot 5 + \frac{4}{3} = - \frac{10}{3} + \frac{4}{3} = \underline{\underline{- 2}}$

Således bliver koordinatsættet i det punkt, hvor de linjer, som beskrives af de 2 ligninger, mødes, altså slutteligt til: $p_s=\underline{\underline{ (-2,5)}}$