Substitutionsmetoden

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Substitutionsmetoden, som også kaldes indsættelsesmetoden, er en metode indenfor matematikken til at løse n ligninger med n ubekendte. Således vil man kunne løse ligninger opstillet således:


l_1:\;\;c_{1,1}x_1+c_{1,2}x_2+c_{1,3}x_3\cdots +c_{1,n}x_n=k_1


l_2:\;\;c_{2,1}x_1+c_{2,2}x_2+c_{2,3}x_3\cdots +c_{2,n}x_n=k_2


l_3:\;\;c_{3,1}x_1+c_{3,2}x_2+c_{3,3}x_3\cdots +c_{3,n}x_n=k_3


\vdots


l_n:\;\;c_{n,1}x_1+c_{n,2}x_2+c_{n,3}x_3\cdots +c_{n,n}x_n=k_n

, hvor \left\{c_{i,j}|i,j=1,2,3\dots n\right\},\left\{k_{i}|i=1,2,3\dots n\right\} betegner vilkårlige konstanter og \left\{x_i|i=1,2,3\dots n \right\} betegner de variable.

Dog vil løsning af n ligninger med n ubekendte nemmest og hurtigst kunne løses vha. matematikkens lineær algebra.

Eksempel[redigér | redigér wikikode]

Vi forsøger her med et eksempel:

Der er givet to ligninger af følgende form:

Ligning 1: 3x+2y=4

Ligning 2: 4x+3y=7

Ifølge metoden isoleres først x i ligning 1:

\qquad
3x+2y=4 \quad \Leftrightarrow \quad 3x=-2y+4  \quad \Leftrightarrow \quad  x=- \frac{2}{3} y  + \frac{4}{3}

Dette indsættes nu i ligning 2:


4x+3y=7 \quad \Leftrightarrow \quad 
4\left(- \frac{2}{3} y  + \frac{4}{3}\right)+3y=7 \quad \Leftrightarrow \quad 
-\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}+ 3y=7 \quad \Leftrightarrow \quad


\frac{16}{3}-7 = - \frac{1}{3}y \quad \Leftrightarrow \quad
-\frac{5}{3}=-\frac{1}{3} y \quad \Leftrightarrow \quad
\frac{-5}{3}/\frac{-1}{3}=\frac{-5\cdot 3}{3\cdot-1}=\frac{-5}{-1}=y \quad \Leftrightarrow \quad
y = \underline{\underline{5}}

Dette kan nu sættes tilbage i udtrykket vi havde for x:

x=- \frac{2}{ 3} y  + \frac{4 }{3} = - \frac{2}{3} \cdot 5  + \frac{4}{3} = - \frac{10}{3} + \frac{4}{3} = \underline{\underline{- 2}}

Således bliver koordinatsættet i det punkt, hvor de linjer, som beskrives af de 2 ligninger, mødes, altså slutteligt til:  p_s=\underline{\underline{ (-2,5)}}