Uegentligt integral

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Et uegentligt integral er indenfor matematikken en bestemt type af integraler, som kort sagt beskæftiger sig med uendeligheder.

Der findes to forskellige typer af uegentlige integraler:

Definition[redigér | redigér wikikode]

Den første type uegentlige integral skrives

\int_a^\infty f(x) dx,

og siges at være konvergent, hvis funktionen F defineret ved

F(b) = \int_a^b f(x) dx

har en endelig grænseværdi for b\to\infty. Er det tilfældet tilskrives integralet grænseværdiens værdi, hvilket skrives

\int_a^\infty f(x) dx = \lim_{b\to\infty} F(b) = \lim_{b\to\infty} \int_a^b f(x) dx.

Hvis F(b) omvendt er divergent for b\to\infty tilskrives integralet ingen værdi.

Den anden type uegentlige integral fremkommer i situationen, hvor en funktion f:]a,b]\to\mathbb{R} betragtes. I analogi med det foregående skrives integralet

\int_a^b f(x) dx,

og det siges at være konvergent, hvis funktionen defineret ved

F(c) = \int_c^b f(x) dx

har en grænseværdi for c\to a^+ (hvor der her med c\to a^+ menes "c gående a fra højre".) Integralet tilskrives som før grænseværdiens værdi og skrives

\int_a^b f(x) dx = \lim_{c\to a^+} F(c) = \lim_{c \to a^+} \int_c^b f(x) dx,

og som før siges integralet at være divergent, hvis F(c) divergerer for c\to a^+.

Eksempler[redigér | redigér wikikode]

Et eksempel på den første type med ubegrænset mængde kunne være nedenstående.

\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \textrm{d} x = { \sqrt{\pi} \over 2 }

Et eksempel på det andet tilfælde, altså ubegrænset integrand, kunne være nedenstående hvor der skal lægges mærke til at der integreres fra nul hvor funktionen ikke er defineret.

 \int_{0}^{1}{1\over x^2} \textrm{d} x

Lad os betragte et eksempel, der viser den egentlige fremgangsmåde, nemlig integralet

\int_1^\infty {\frac{1}{x^3}} dx.

Benyttes definitionen, fås at

\int_1^\infty {1\over x^3} \textrm{d} x = \lim_{t\to\infty} \int_1^t {\frac{1}{x^3}} \textrm{d} x = \lim_{t\to\infty} \left[ {\frac{-1}{2x^2}} \right]_1^t =  \lim_{t\to\infty}\left(\frac{1}{2}- {\frac{1}{2t^2}}\right) = \frac{1}{2}.

Integralet vil med de angivne grænser altså være konvergent med værdien ½.