Unitær matrix

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

I lineær algebra er en unitær matrix en n gange n kompleks matrix U, der opfylder

U^* U = UU^* = I_n,

hvor I_n er identitetsmatricen og U^* er den Hermitisk adjungerede (også kaldet den konjugerede transponerede) af U. Kravet siger, at en matrix U er unitær, hvis den har en invers, der er lig med den Hermitisk adjungerede U^*.

En unitær matrix i hvilken alle indgange er reelle er det samme som en ortogonalmatrix. Præcis som en ortogonalmatrix G bevarer det (reelle) indre produkt af to reelle vektorer,

\langle Gx, Gy \rangle = \langle x, y \rangle,

opfylder en unitær matrix U, at

\langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle

for alle komplekse vektorer x og y, hvor <.,.> nu er det Euklidiske indre produkt på \mathbb{C}^n. Hvis A er en n gange n-matrix er følgende udsagn ækvivalente:

  1. A er unitær.
  2. A^* er unitær.
  3. Søjlerne i A danner en ortonomalbasis for \mathbb{C}^n med hensyn til det Euklidiske indre produkt.
  4. A er en isometri med hensyn til normen fra dette indre produkt.

Det følger af isometriegenskaben, at alle egenværdier af en unitær matrix er komplekse tal med absolut værdi 1 (de ligger på enhedscirklen med centrum 0 i det komplekse plan.) Det samme gælder determinanten.

Alle unitære matricer er normale, og spektralsætningen gælder derfor for dem. Det vil sige, at enhver unitær matrix U kan skrives på formen

U = V \Sigma V^*,

hvor V er unitær og \Sigma er unitær og en diagonalmatrix.

For ethvert n, danner mængden af alle n gange n unitære matricer med matrixmultiplikation en gruppe.