Varians

Varians er et begreb inden for sandsynlighedsregning og statistik, der angiver variabiliteten af en stokastisk variabel. Mens middelværdien angiver det niveau, som den stokastiske variabels værdier i gennemsnit ligger på, er variansen et mål for, hvor meget disse værdier i gennemsnit afviger fra middelværdien.

Variansen for en stokastisk variabel $X$ er defineret som

$\mbox{Var}(X) = \mbox{E}\left((X-\mbox{E}(X))^2\right)$

hvor $\mbox{E}(X)$ angiver middelværdien af den stokastiske variabel. Det kan let vises, at

$\mbox{Var}(X) = \mbox{E}(X^2) - \left(\mbox{E}(X)\right)^2$

Standardafvigelsen eller Spredningen', $\sigma$ , af en stokastisk variabel er defineret som kvadratroden af variansen, dvs.

$\sigma = \sqrt{\mbox{Var}(X)}$

Empiriske størrelser [redigér]

Hvis man har et datasæt bestående af observationerne $x_1,\ldots,x_n$ og ønsker at beregne et skøn over variansen, benyttes normalt den empiriske varians $s^2$ . Denne er givet ved

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}}{n-1}$

hvor $\bar{x}$ er gennemsnittet af observationerne (et skøn over middelværdien) og $n$ er antallet af observationer.

Den empiriske spredning $s$ er givet ved kvadratroden af den empiriske varians.

Regneteknisk kan $\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2$ beregnes som $\sum_{i=1}^n x_i^2 - \frac{(\sum_{i=1}^nx_i)^2}{n}$ , hvilket betyder, at man kan summere data op løbende uden at beholde de enkelte observationer.

Regneregler for varians [redigér]

Variansen af en stokastisk variabel ganget med en konstant er lig variansen for variablen ganget med konstanten opløftet i 2. potens. Variansen ændres derimod ikke, hvis der lægges en konstant til. Disse to regneregler kan udtrykkes matematisk således (hvor $X$ er en stokastisk variabel, og $a$ og $b$ er konstanter):

$\mbox{Var}(a \cdot X + b) = a^2 \cdot \mbox{Var}(X)$

Variansen af en sum af to forskellige stokastiske variable er lig summen af deres varians samt 2 gange deres kovarians. Hvis $X$ og $Y$ er to stokastiske variable med kovarians $\mbox{Cov}(X,Y)$ skrives det: