Vektor (geometri)

For alternative betydninger, se Vektor (flertydig).

En vektor er i geometrien et objekt, der er karakteriseret ved at have en størrelse og en retning. Normale tal kaldes for skalarer, disse består af én størrelse; dette er imidlertid ikke beskrivende nok for mange fænomener – f.eks. en hastighed. Når man taler om en hastighed har denne både en størrelse (kaldet farten) og en retning. Ud over hastighed anvendes geometriske vektorer inden for fysikken også til at beskrive eksempelvis kræfter, acceleration og meget andet. Vektorer anvendes ofte i to dimensioner (en plan), eller i tre dimensioner; men vektorer kan anvendes i ethvert antal dimensioner - endda i nul dimensioner (et punkt) og i uendeligt mange dimensioner.

Notation

Det, at et objekt skal angive en vektor, kan noteres på mange forskellige måder. Alle de nedenstående måder at repræsentere en vektor på ses hyppigt.

${\vec {a}},{\overline {a}},{\underline {a}},\mathbf {a}$

Som fortalt har en vektor både størrelse og retning. Umiddelbart kan dette omskrives på to måder. Hvis man for eksempel i to dimensioner har en vektor med længden 5 og vinklen 45 grader i forhold til vandret (x-aksen eller den første akse) skriver man:

${\vec {a}}=5\angle 45^{\circ }$

Når man regner med flere vektorer samtidigt, er denne notation upraktisk. Der findes derfor en anden notationsform, hvor man opskriver en vektor på matrixform. Her opfatter man vektoren som en retvinklet trekant, og angiver, hvor langt den når hen ad den første akse, og hvor langt den når hen ad den anden akse.

${\vec {a}}={a_{1} \choose a_{2}}$

Hvis man har en vektor opskrevet på den førstnævnte måde, og man ønsker at omskrive vektoren til matrix-form, gøres det således:

${\vec {a}}=L\angle v$

${\vec {a}}={L\cdot \cos v \choose L\cdot \sin v}$

En vektor i tre dimensioner, repræsenteres på samme måde, og det viser sig at mange af beregningsmetoderne er stort set identiske for vektorer i tre dimensioner. Første "lighed" er den måde, hvorpå man opskriver vektoren. Her tilføjer man blot en ekstra koordinat:

${\vec {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}$

Ligeledes gælder det for en vektor i n dimensioner, når n er et naturligt tal:

${\vec {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}$

Længde af vektorer

Når man har opskrevet en vektor som en søjle-matrix, kan man finde vektorens længde ved at bruge Pythagoras, eftersom man faktisk kan opfatte en vektor som hypotenusen i en retvinklet trekant. En vektors længde noteres med ||·|| på følgende måde:

$\|{\vec {a}}\|$

Formlen for længden af en én-dimensional vektor er givet ved:

$\|{\vec {a}}\|={\sqrt {{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}}}={\sqrt {a_{1}^{2}}}$ , for ${\vec {a}}\ ={\begin{pmatrix}a_{1}\end{pmatrix}}$

Formlen for længden af en to-dimensional vektor er givet ved:

$\|{\vec {a}}\|={\sqrt {{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}}}={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}$ , for ${\vec {a}}\ ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}$

Formlen for længden af en n-dimensional vektor er givet ved:

$\|{\vec {a}}\|={\sqrt {{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}}}={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}...+a_{n}^{2}}}$ , for ${\vec {a}}\ ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}$

Prikken under kvadratrodstegnet angiver det såkaldte prikprodukt, defineret for vektorer, og ikke et gangetegn som man ellers kan forveksle det med. Se eventuelt definitionen på prikproduktet længere nede. Denne notation er som regel underforstået når prikken står mellem to vektorer. Bemærk at en vektor ikke kan have en negativ længde.

Addition af vektorer

Addition af vektorer

Når man skal lægge to vektorer sammen (svarende til at finde den resulterende kraft), får man en ny vektor, der kaldes for sumvektoren. Denne er normalt benævnt med ${\vec {r}}$. Hvis man har to vektorer i det samme to-dimensionale rum,

${\vec {a}}={a_{1} \choose a_{2}}$ og ${\vec {b}}={b_{1} \choose b_{2}}$,

lægges de sammen på følgende måde:

${\vec {r}}={a_{1}+b_{1} \choose a_{2}+b_{2}}$

Hvis man har tre eller flere vektorer, lægges de sammen efter samme princip: første-koordinaterne lægges sammen med hinanden, og anden-koordinaterne lægges sammen med hinanden).

Akkurat de samme fremgangsmåder benyttes for vektorer i n dimensioner.

Subtraktion af vektorer

Subtraktion af vektorer

Vektorer trækkes fra hinanden, efter samme princip, som man lægger sammen. Dog opfatter man vektorers differens som:

${\vec {a}}+(-{\vec {b}})$

At man skriver $-{\vec {b}}$ betyder simpelthen at vektoren vendes og går i den modsatte retning. Det opfattes også som:

$(-{\vec {b}})={-b_{1} \choose -b_{2}}$

Men dette bruges kun grafisk. Analytisk trækker man vektorer fra hinanden ved at sige:

${\vec {r}}={a_{1}-b_{1} \choose a_{2}-b_{2}}$

Grundet lighederne med addition, er principperne ligeledes de samme for vektorer af vilkårlig dimension.

Skalering af vektor

Når man skalerer en vektors længde, ganger man hver af vektorens koordinater med skaleringsfaktoren. Formlen er for vektorer i to dimensioner givet ved:

$x\cdot {\vec {a}}={x\cdot a_{1} \choose x\cdot a_{2}}$

Man kalder også dette for skalarmultiplikation af en vektor. Skalaren x ganges altså på hver af koordinaterne i vektoren. Her til højre ses to tilfælde, når henholdsvis x=2 og x=-1. Bemærk dog at regnereglen gør sig gældende for alle reelle tal, og ikke blot for heltal. Samme formel benyttes for vektorer i n dimensioner.

Når skalaren x er ganget på vektoren a vil vektoren nu have længden $|x|\cdot \|a\|$. Herudover vil vinklen i forhold til vandret være bevaret, såfremt x er positiv. I tilfælde af at x skulle være negativ, vil vinklen være forskubbet 180 grader.

Tværvektor

Tværvektoren er den vektor der står vinkelret på ${\vec {a}}$ drejet mod urets retning. Denne bliver undertiden også kaldet for hat-vektoren, da den noteres som ${\hat {a}}$. Tværvektoren er kun defineret for vektorer i planen, da der i vektorrum med højere dimension end to findes uendelig mange drejede vektorer, der står vinkelret på den oprindelige vektor.

Det er let at overbevise sig selv om at tværvektoren til en vektor ${\vec {a}}={x \choose y}$ er givet ved ${\hat {a}}={-y \choose x}$.

Prikprodukt

De respektive informationer til skalarproduktet af to vektorer

Uddybende artikel: Skalarprodukt

Prikproduktet er defineret for n-dimensionale vektorer og er en skalar. Prikproduktet noteres ofte med en prik: $\cdot$, som ikke må forveksles med et gangetegn, men da to vektorer sjældent kan ganges sammen er der imidlertid ikke noget at tage fejl af. Nogle steder i litteraturen er prikken dog gjort ekstra stor, så der slet ikke er nogen tvivl om hvad der menes. For det n-dimensionelle tilfælde ser prikproduktet ud på denne måde:

${\vec {a}}\bullet {\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\bullet {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\cdot b_{i}=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+\cdots +a_{n}\cdot b_{n}$

Resultatet af prikproduktet altså et tal! For geometriske vektorerer gælder der ydermere at prikproduktet har følgende egenskab:

${\vec {a}}\bullet {\vec {b}}=\|a\|\cdot \|b\|\cdot \cos \theta$

Planprodukt

Uddybende artikel: Planprodukt

Planproduktet er udelukkende defineret for to-dimensionale vektorer og er lig med en skalar, hvis numeriske værdi er arealet af det parallelogram, der udspændes af to vektorer. Fortegnet angiver, om de to vektorer er positivt orienterede eller negativt orienterede. Planproduktet noteres undertiden med [·,·]. Formlen for planproduktet af to vektorer er angivet nedenfor. Almindeligvis kaldes det skalarproduktet.

$[{\vec {a}},{\vec {b}}]=\det({\vec {a}},{\vec {b}})=\det {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{pmatrix}}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}.$

Planprodukt og prikprodukt er relaterede ved formlerne

$[{\vec {a}},{\vec {b}}]={\hat {a}}\bullet {\vec {b}}$

og

${\vec {a}}\bullet {\vec {b}}=[{\vec {a}},{\hat {b}}].$

Krydsprodukt

Krydsprodukt

Uddybende artikel: Krydsprodukt

Krydsproduktet er udelukkende defineret for tre-dimensionale vektorer og er lig med en vektor, der står vinkelret på den plan, der udspændes af to vektorer. Krydsproduktet noteres med et kryds: ×. Den måde, hvorpå krydsproduktet udregnes, kræver beregning af hele tre determinanter. "Formlen" for krydsproduktet imellem to vektorer er angivet nedenfor.

${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\det {\begin{pmatrix}a_{2}&b_{2}\\a_{3}&b_{3}\end{pmatrix}}\\\det {\begin{pmatrix}a_{3}&b_{3}\\a_{1}&b_{1}\end{pmatrix}}\\\det {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}$

Bemærk at krydsproduktet giver en vektor som resultat! Herudover har denne nye vektor også den egenskab at dens længde angiver arealet af det parallelogram som de to vektorer udspænder. Til sidst kan størrelsen af krydsproduktet også benyttes til at bestemme vinklen imellem de to vektorer.

$\|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\|=\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {b}}\|\cdot \sin \theta$

• Wikimedia Commons har flere filer relateret til Vektor (geometri)

Spire Denne artikel om matematik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.