Wavelet-transformation

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
Et eksempel på en 2D diskret wavelet-transformation som anvendes i billedformatet JPEG2000. Gråtonerne er Wavelet-koefficienter.
2D-Wavelet-koefficienter typisk vist som gråtoner. For hver kvadrat "niveau" (Ø, SØ, S) man går - går man også en Wavelet-koefficient skalaniveau op eller ned - niveauet er definitionsafhængigt - nogle øger den ved Wavelet-dilation og andre lader den falde. Kvadratet mærket "DC" er minimum én eller flere Wavelet-skaleringsfunktions-koefficienter.

Indenfor matematik er en wavelet-række en repræsentation af en kvadratisk integrabel (reel- eller kompleks-værdi) funktion af en bestemt ortonormal række genereret af en wavelet. Denne artikel viser en formel, matematisk definition af en ortonormal wavelet og af den integrale wavelet-transformation også kaldet den integrale wavelet-afbildning.

Formel definition[redigér | redigér wikikode]

En funktion \psi\in L^2(\mathbb{R}) kaldes for en ortonormal wavelet hvis den kan anvendes til at definere et Hilbert-basis, som er en fuldstændigt ortonormalt system, for Hilbertrummet L^2(\mathbb{R}) af kvadratisk integrable funktioner. Hilbert basen bliver konstrueret som familien af funktioner \{\psi_{jk}:j,k\in\Z\} ved hjælp af dyadiske translationer og dilationer af \psi\,,

\psi_{jk}(x) = 2^{j/2} \psi(2^jx-k)\,

for heltal j,k\in \mathbb{Z}. Denne familie er et ortonormalt system hvis det er ortonormalt under det indre produkt

\langle\psi_{jk},\psi_{lm}\rangle = \delta_{jl}\delta_{km}

hvor \delta_{jl}\, er Kroneckers delta og \langle f,g\rangle er det standard indre produkt \langle f,g\rangle = \int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}dxL^2(\mathbb{R}). Fuldstændigskravet er at enhver funktion h\in L^2(\mathbb{R}) kan ekspanderes i basis som

h(x)=\sum_{j,k=-\infty}^\infty c_{jk} \psi_{jk}(x)

med rækkekonvergensforstået som værende normkonvergens. Sådan en funktionsrepræsentation f er kendt som en wavelet-række. Dette medfører at en ortonormal wavelet er selv-dual.

Wavelet-transformation[redigér | redigér wikikode]

Den integrale wavelet-transformation eller integrale wavelet-afbildning er integraltransformationen defineret ved

\left[W_\psi f\right](a,b) = \frac{1}{\sqrt{|a|}}
\int_{-\infty}^\infty \overline{\psi\left(\frac{x-b}{a}\right)}f(x)dx\,

Wavelet-koefficienterne c_{jk} er så givet ved

c_{jk}= \left[W_\psi f\right](2^{-j}, k2^{-j})

Her er, a=2^{-j} kaldet den binære dilation eller dyadiske dilation, og b=k2^{-j} er den binære eller dyadiske position.

Wavelet-kompression[redigér | redigér wikikode]

Wavelet-kompression er en form for datakompression der er velegnet til billedkompression (nogle gange også videokompression og audiokompression). Kendte implementationer er JPEG 2000, DjVu og ECW for enkelt billeder, REDCODE, CineForm, BBC's Dirac, og Ogg Tarkin for video. Målet er at gemme billeddata på så lidt plads som muligt i en fil. Wavelet-kompression kan enten være tabsfri eller ikke-tabsfri.[1]

Se også[redigér | redigér wikikode]

Kilder/referencer[redigér | redigér wikikode]

  • Chui, Charles K. (1992). An Introduction to Wavelets. San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-174584-8. 
  1. JPEG 2000, for eksempel, kan man anvende 5/3-wavelet til tabsfri (reversibel) transformation og en 9/7-wavelet for ikke-tabsfri (irreversibel) transformation.

Eksterne henvisninger[redigér | redigér wikikode]

Commons-logo.svg
Wikimedia Commons har medier relateret til: