Aksiom
Et aksiom er en grundantagelse, der antages at være sand, og som ligger til grund for et større system af sætninger. I et sådant logisk system har man altså et sæt aksiomer, man ikke beviser, men bruger som det fundamentale grundlag til at bevise andre sætninger i teorien.
Aksiomer i et logisk system
Aksiomssættet for eksempelvis en matematisk teori kan ses som de grundlæggende regler, som man frit fastlægger. Aksiomerne afgør herved, hvad der er muligt inden for teorien, og afgrænser ligeså, hvad man skal forstå ved de basale begreber, som teorien udsiger noget om. Ligesom man er nødt til at lade nogle udsagn være antaget uden bevis (netop aksiomerne), er man også nødt til at have nogle grundlæggende udefinerede begreber. Et forsøg på at definere alle begreber ville nemlig blot føre til en uendelig regres, hvor man definerer begreber ved andre ikke fastlagte begreber.
Efter at aksiomerne har fastlagt reglerne (og de grundlæggende begreber) kan man derefter udlede så meget, der er muligt inden for aksiomssættet. Hvis der er for få aksiomer til at udlede nok interessante sætninger, kan man være nødt til at indføre flere i sin teori. Men viser det sig omvendt, at man faktisk kunne udlede et aksiom ud fra de andre, så kan man jo selvfølgelig smide dette bort som aksiom og have det som en beviselig sætning i stedet.
Ideen er at have så få aksiomer som muligt til at bevise så meget som muligt; dette kan man dels begrunde æstetisk med, at det enkleste er bedst (Ockhams ragekniv), dels er det også faktisk ret vitalt at have så få aksiomer som muligt, så man ikke risikerer at indføre unødige modstrider i sit system, jf. Gödels ufuldstændighedsteorem.
Eksempler på aksiomssæt
I Euklidisk geometri antages det, at en ret linje kan forlænges vilkårligt langt med en ret linje. Euklids aksiomer, oprindeligt opstillet af Euklid omkring 300 f.Kr., har således været grundlaget for geometrien, indtil denne disciplin siden er blevet raffineret og opstillet i forskellige nye versioner fx af David Hilbert ca. 1900.
Aristoteles opstillede i sin bog Metafysikken to aksiomer for sin filosofi:
- Modsigelsessætningen.
- Sætningen om den udelukkede tredje mulighed.
Andre aksiomssæt inden for matematik er eksempelvis Peanos aksiomer, der fastlægger de naturlige tal, og de for matematikken helt fundamentale Zermelo-Fraenkels aksiomer for mængdelæren.