Et andengradspolynomium er et polynomium, hvori den uafhængige variabel indgår i op til anden potens. Det har altså følgende forskrift:

hvor
er en funktion af den uafhængige variabel
, og
,
og
er konstanter.
En funktion uden andenordensleddet er et førstegradspolynomium. En funktion, hvor det højeste led er af tredje orden, er et tredjegradspolynomium.
Andengradspolynomiets graf i
kartesiske koordinater er en
parabel. I hvert billede varieres én af konstanter

,

og

, mens da andre holdes konstante.
Hvis konstanten
ændres, ændrer funktionsværdierne sig lige så meget. Konstanten
afgør sammen med
, hvor funktionens ekstremum er, mens
alene bestemmer krumningen eller den anden afledte, idet:

Det ses, at krumningen bliver større, når
bliver større, og et negativt
giver en negativ krumning.

-værdierne til de punkter hvor andengradspolynomiet

skærer

-aksen er

og

, hvilket er løsninger til andengradsligningen

For andengradspolynomiets nulpunkter eller rødder
gælder

hvilket er en andengradsligning.
Nulpunkterne er givet ved

hvor udtrykket i kvadratroden er diskriminanten
:

Diskriminanten er afgørende for hvilke løsninger, der er mulige. Det gælder:
: 2 reelle løsninger:
: 1 reel løsning; denne løsning kaldes en dobbeltrod.
: Ingen reelle løsninger, men 2 komplekst konjugerede løsninger. Dette sker, fordi kvadratroden tages af et negativt tal.
Andengradspolynomiet er symmetrisk omkring ét enkelt punkt
givet ved:

Det kan vises ved at teste, om der findes et punkt, der opfylder symmetribetingelsen:

hvor
er en konstant. Forskriften skrives ud og forsimples så vidt muligt:

Kun nul kan være lig med minus sig selv. Da
er større end nul, må udtrykket i parentesen være nul:

Det ses, at der altså er et punkt, som polynomiet er symmetrisk omkring. Dette er også polynomiets ekstremum, da funktionen enten er stigende på begge sider af punktet eller faldende på begge sider af punktet.
Et andengradspolynomium har altid ét ekstremum
, og koordinaterne for dette er bestemt ved følgende formel:

Det vil enten være et minimum eller et maksimum afhængigt af, om konstanten
er positiv eller negativ.
Da
-værdien for polynomiet allerede er fundet under Symmetri, kan den indsættes i funktionsforskriften for at finde
-værdien:

hvilket er det ønskede udtryk.
Hvis
-værdien ikke allerede kendes fra symmetrien, kan den findes ved at differentiere andengradspolynomiet, da hældningen i et ekstremum er nul. Hældningen er givet ved:

Dette sættes til nul, så
kan findes:

Det ses, at ekstremum er det samme som symmetripunktet.
Forskriften for et andengradspolynomium kan omskrives, så forskellige aspekter ved polynomiet bliver tydeligere. Herunder præsenteres faktorisering og toppunktsnotation.
For at gøre rødderne tydelige kan et andengradspolynomium skrives som:

At polynomiet kan udtrykkes med rødderne, kan vises. Først ganges parenteserne sammen:

Generelt er rødderne:

Dette indsættes:

Udtrykket for diskriminanten indsættes nu:

Hvilket er det oprindelige udtryk.
For at gøre polynomiets ekstremum tydeligt, kan forskriften skrives som:

Ligesom faktorisering kan denne notation vises ved at indsætte udtrykkene for ekstremum:

Udtrykket for diskriminanten indsættes:

Hvilket er det oprindelige udtryk.
- Karush, William (1962): Matematisk opslagsbog, Politikens Forlag (2. udg., 4. opl. 2000); ISBN 87-567-5511-2.