Andengradspolynomium

Illustration af et andengradspolynomium og effekten af at ændre konstanterne a, b, og c.

Et andengradspolynomium er et polynomium, hvori den uafhængige variabel indgår i op til anden potens. Det har altså følgende forskrift:

$P_2(x) = ax^2 + bx + c \quad , \quad a \neq 0$

- hvor $P_2(x)$ er en funktion af den uafhængige variabel x, og a, b og c er reelle konstanter. Det er nødvendigt at a er forskellig fra nul, da der ellers ville være tale om et førstegradspolynomium, også kaldet linjens ligning.

Sammenhæng mellem forskrift og graf

Andengradspolynomiets grafiske billede er en parabel med et toppunkt, som enten er et minimum eller et maksimum, afhængig af om parablens grene (eller ben) vender opad eller nedad (da man kan se parablens grene som værende en mund, kalder man til tider parablen for henholdsvis en glad/konveks eller en sur/konkav parabel). Det hænger sammen med værdien af $a$, idet en negativ $a$ vil give en konkav/sur parabel, mens en positiv $a$ vil give en konveks/glad parabel.

Ved at betragte forskriften for andengradspolynomiet kan der bemærkes flere ting om det grafiske billede. Størrelsen på $a$ angiver hvor stejl grafen er (jo større $a$, desto stejlere graf) og fortegnet for $a$ fortæller om grafens grene vender op- eller nedad. En parabel med negativt fortegn foran både $a$ og diskriminanten har derfor ingen løsningsmængde for $y = 0$, idet den ligger under x-aksen med nedadvendte grene. Det samme gælder hvis $a>0$ og $d<0$.

Man kan også ud fra funktionen se toppunktet i forhold til y-aksen:

• Har $a$ og $b$ samme fortegn, ligger toppunktet til venstre for y-aksen.
• Har $a$ og $b$ forskellige fortegn, ligger toppunktet til højre for y-aksen.
• Er $b=0$ ligger toppunktet på y-aksen.

Ud fra ligningen kan man også se skæringen på y-aksen, hvilket er det samme som $c$.

Nulpunktsbestemmelse

$x$-værdierne til de punkter hvor andengradspolynomiet $P_2(x)=x^2-x-2$ skærer $x$-aksen er $x=-1$ og $x=2$, hvilket er løsninger til andegradsligningen $x^2-x-2=0$

Polynomiets skæring med $x$-aksen i et kartesisk koordinatsystem, ofte også kaldet polynomiets rødder eller nulpunkter, er de $x$-værdier som løser andengradsligningen:

$ax^2 + bx + c = 0\,\!$

Når man finder løsning(er) til en andengradsligning, leder man således efter de værdier af $x$ hvor andengradslignings $y$-værdi(er) lig med $0$. Derfor kalder man også løsninger til andengradsligningen for nulpunkter.

For andengradsligningen indføres størrelsen D, som kaldes diskriminanten og er defineret således:

$D = b^2 - 4ac\,\!$

Ligningen vil så have rødder, eller løsninger, givet ved følgende formel:

$ax^2 + bx + c = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

I det reelle talrum kan der være nul, en eller to rødder; i det komplekse talrum vil der altid være to rødder hvis de tælles med multiplicitet. Såfremt der forekommer to komplekse løsninger vil de være hinandens komplekskonjugerede. Løsningerne angiver nulpunkterne for andengradspolynomiet og kaldes derfor polynomiets rødder. De kan visuelt identificeres som de steder hvor afbildningen skærer x-aksen.

• D > 0: 2 løsninger, begge tilhørende de reelle tal.
• D = 0: 1 løsning tilhørende de reelle tal; denne løsning kaldes en dobbeltrod, da den er et specialtilfælde af ovenstående.
• D < 0: Ingen reelle løsninger; 2 komplekskonjugerede løsninger i de komplekse tal.

Udledning af løsningsformlen

En måde at udlede løsningsformlen på er som følger:

En andengradsligning har standardformen: $ax^2 + bx + c = 0$ og skal udtrykkes på en form, der muliggør isolering af x. Det sker ved anvendelse af kvadratsætningen:

$\left(p + q\right)^2 = p^2 + 2pq + q^2\,\!$.

Standardligningen ganges med $4a$, og der fås

$4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0\,\!$

$b^2 - 4ac\,\!$ lægges til på begge sider af lighedstegnet:

$4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac\,\!$

Nu bruges kvadratsætningen på venstre side:

$\left(2ax + b\right)^2 = b^2 - 4ac\,\!$

Herefter kan x isoleres:

$2ax+b = \pm\sqrt{b^2 - 4ac} \quad \Leftrightarrow \quad x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\,\!$

Faktorisering

Når andengradspolynomiets rødder kendes, kan man faktorisere det i førstegradspolynomier:

Givet polynomiet:

$f(x)= ax^2 + bx +c\,\!$

med rødderne $r_1$ og $r_2$. Rødderne kan være reelle eller komplekse, og de er talt med multiplicitet så de kan også repræsentere en dobbeltrod. Da kan $f(x)\!$ skrives som:

$f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)\,\!$

Toppunkt

Grafen for et andengradspolynomium har altid et toppunkt, og koordinaterne for dette er bestemt ved følgende formel:

$T_p = \left (-\frac {b}{2a}; -\frac {D}{4a} \right)$

hvor D er diskriminanten. Toppunktet vil enten være et minimum eller et maksimum, afhængig af, om konstanten a er positiv eller negativ.

Udledning af toppunktet

For at finde koordinaterne for toppunktet i et andengradspolynomium, skal man finde nulpunktet for dets differentialkvotient. Da differentialkvotienten for et andengradspolynomium altid vil være et førstegradspolynomium, vil der være netop én rod.

$f(x)=ax^2+bx+c \quad \Leftrightarrow \quad f'(x)=2ax+b \,\!$

Roden i $f'(x)\,\!$ findes da som:

$2ax+b=0 \quad \Leftrightarrow \quad 2ax=-b \quad \Leftrightarrow \quad x=-\frac{b}{2a}$

Da $-b/(2a)$ er værdien af x i toppunktet, kan værdien af y findes ved at indsætte $x = -b/(2a)$ i forskriften:

$y \;$	$= a \left (-\frac{b}{2a} \right)^2+b \left(-\frac{b}{2a} \right)+c \;$	$= \frac{ab^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c$
		$= \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c$
		$= \frac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a}$
		$= \frac{-b^2+4ac}{4a}$
		$=\underline{\underline{-\frac{D}{4a}}}$

- idet diskriminanten, $D = b^2 - 4ac \,\!$ er indført i udtrykket. Samlet set giver det toppunktet:

$T_p = \left (-\frac {b}{2a}; -\frac {D}{4a} \right)$

Alternativ udledning af toppunktet

Man kan også bestemme y-koordinaten y_p for toppunktet ved følgende resænnoment: Ligningen $a x^2 + b x + c = k$ for vilkårligt tal k vil have netop én løsning, hvis k er lig med parablens toppunkt. Derfor kan y_p bestemmes ved, at følgende ligning:

$a x^2 + b x + c = y_p$

skal have netop én løsning. Med andre ord, diskriminanten skal være nul.

Først skal y_p flyttes over på venstre-siden:

$a x^2 + b x + (c - y_p) = 0$

og dernæst sættes diskriminanten til nul:

$0 = b^2 - 4 a (c - y_p)$

$0 = b^2 - 4 a c + 4 a y_p$

$0 = D + 4 a y_p$

Her isoleres y_p og resultat bliver:

$y_p = -\frac{D}{4a}$

Se også

• Polynomium
• Tredjegradspolynomium

Litteratur/Eksterne adresser

• Karush, William (1962): Matematisk opslagsbog, Politikens Forlag (2. udg., 4. opl. 2000); ISBN 87-567-5511-2.

• MatLex – Andengradsligninger
• (Engelsk) Quadratic Equation -- from MathWorld
• Online lommeregnere - Andengradspolynomium