Den pythagoræiske læresætning

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Jump to navigation Jump to search
Et visuelt bevis for den pythagoræiske læresætning.

Den pythagoræiske læresætning beskriver forholdet mellem sidelængderne i en retvinklet trekant. Det er en af de grundlæggende sætninger i den euklidiske geometri. Den siger, at i alle retvinklede trekanter er summen af kateternes kvadrat lig hypotenusens kvadrat. Sætningen kan også udtrykkes som ligning, idet kateternes længder benævnes og og hypotenusens benævnes , ligesom på illustrationen:

Det er derfor muligt at beregne en sidelængde i en retvinklet trekant, når de to andre sidelængder er kendte. Fx findes hypotenusen ved at tage kvadratroden af summen af og s kvadrater, altså

Læresætningen er opkaldt efter Pythagoras. Princippet var velkendt både for egyptere og babylonere længe før Pythagoras' tid, når det gjaldt en trekant med målene 3, 4 og 5; men Pythagoras beviste, at princippet gjaldt i alle tilfælde. [1]

Sæt af heltalige løsninger til den pythagoræiske læresætning kaldes pythagoræiske tal.

Beviser[redigér | redigér wikikode]

Der findes flere måder at bevise den pythagoræiske læresætning på.

Bevis ud fra arealer[redigér | redigér wikikode]

Pythagoras' bevis.

Det omskrevne kvadrat har arealet:

Det samme areal kan beregnes som summen af arealerne af de fire trekanter og arealet af det indskrevne kvadrat:

Disse to forskellige udtryk for det samme areal sættes lig hinanden:

Denne ligning reduceres til:

Hermed er sætningen bevist.

Anvender ensvinklede trekanter[redigér | redigér wikikode]

Teorema.png

Fra billedet . Og ved at erstatte ligninger (1) og (2):

Mangedobling for c:

Den udvidede pythagoræiske læresætning[redigér | redigér wikikode]

Der findes imidlertid også en udvidet pythagoræisk læresætning, som gælder for alle trekanter, ikke kun de retvinklede. Denne kaldes cosinusrelationen. Den kaldes den udvidede Pythagoras, da den for det første i sin opbygning minder meget om Pythagoras' læresætning og desuden er beviset for sætningen baseret herpå.

Cosinusrelationerne er givet ved

,

hvor er vinklen mellem linjerne og . Her er det lige meget hvilke af siderne der benævnes med , og .

Pythagoras' omvendte sætning[redigér | redigér wikikode]

Den omvendte sætning af den pythagoræiske læresætning er også sand. Det vil sige at hvis længden af siderne i en trekant opfylder: :, så er vinkel C en ret vinkel, og derfor er trekanten retvinklet.

Noter[redigér | redigér wikikode]

  1. ^ Eiliv Skard: Filosofien i oldtiden (s. 40), forlaget Aschehoug, Oslo 1972, ISBN 82-03-00680-9

Se også[redigér | redigér wikikode]

Eksterne henvisninger[redigér | redigér wikikode]