Spring til indhold

Differentialligning

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Der er for få eller ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem. Du kan hjælpe ved at angive troværdige kilder til de påstande, som fremføres i artiklen.

En differentialligning er en ligning, hvori der indgår en (ubekendt) funktion[1] og dens afledede.[2] At løse differentialligningen vil sige at finde en funktion, som tilfredsstiller denne.[3]

Den helt generelle form for en n'te ordens lineær differentialligning ser således ud:

Såfremt er lig nul, siger man, at differentialligningen er homogen, og i alle andre tilfælde, at den er inhomogen.[4]

En differentiallignings orden afhænger af, hvor mange gange der højest er differentieret. Ordenen kan således være fra et og opefter.

Eksempel: Hastighed og acceleration

Et eksempel på benyttelse af differentialligninger i hverdagen er beskrivelsen af hhv. hastighed og acceleration i én dimension.[5] Hastigheden er defineret[6] som ændring i position pr. tidsændring :

Samtidig er acceleration ændringen i hastighed pr. tidsændring:[7]

Dette er eksempler på differentialligninger af hhv. første og anden orden, idet man kan opfatte både strækning og hastighed, som en funktion, der afhænger af tiden.

Flere praktiske eksempler er differentialligninger til beskrivelse af elektriske kredsløb eller til beskrivelse af et masse-fjedersystem. Her tænkes der på en masse, som er fastmonteret til en fjeder, hvorefter fjederen bliver strakt ud. Beskrivelsen af den oscillerende bevægelse frem og tilbage beskrives typisk også med en differentialligning. Dette er kun ganske få udpluk af utallige praktiske anvendelser.

Eksempel: Lodret kast med bold[8][redigér | rediger kildetekst]

Et konkret eksempel på anvendelse af ovenstående differentialligninger kan ses ved at kaste en bold lodret op i luften og beregne, hvornår den rammer jorden. Ses der bort fra luftmodstanden, vil denne bold accelerere nedad med tyngdeaccelerationen , som i Danmark er omtrent 9,82 m/s².[9] Det betyder, at følgende differentialligning kan opstilles for boldens højde over jorden:

Hvor strækningen er målt i meter og tiden i sekunder. Det negative fortegn skyldes, at tyngdekraften presser nedad på bolden.

Der antages yderligere, at bolden kastes opad med farten 5 m/s og at den slippes fra en højde på 1,5 m. Disse to informationen kaldes begyndelsesbetingelser til differentialligningen. De kan skrives matematisk, som hhv.:

Løsningen til differentialligningen kan findes ved at integrere af to omgange. Først findes hastigheden:

I denne differentialligning kan den første begyndelsesbetingelse indsættes, så der opnås:

Dette er en udtryk for boldens hastighed. Ønskes strækningen integreres det:

Heri kan den anden begyndelsesbetingelse anvendes:

Dette er den løsningen til den oprindelige differentialligning. Spørgsmålet om hvornår den rammer jorden kan besvares ved at løse andengradsligningen:

Hvilket giver den positive løsning:

Bolden rammer derfor jorden efter 1,23 sekunder.

Populær definition af differentialligning[redigér | rediger kildetekst]

Populært sagt er en differentialligning en type ligning, som består af to ubestemte integraler; men der er gået kludder i de to ubestemte integraler.

Som standard er det ene integral af og det andet integral er af .

Metoden separation af de variable[10]

At løse en differentialligning[11] kan ske ved metoden separation af de variable.[12]

Her starter man med at definere to funktioner; der som standard hedder og .

Man tager forbehold og sikrer, at

for man skal senere dividere med eller rettere: Man skal dividere med det, som er lig med .[13]

Når man har bragt orden i de ubestemte intgraler,

sætter man et integraltegn (det langstrakte s:) på hver side af lighedstegnet.[14]

Skrive to stamfunktioner

Herefter skal man skrive to stamfunktioner.

Ved at skrive de to stamfunktioner opstår der en almindelig ligning.

Løse den almindelige ligning

Den almindelige ligning løser man ved at isolere variablen [15]

Så har man beregnet differentialligningens fuldstændige løsning.[16]

Nogle eksempler på typer af differentialligninger[redigér | rediger kildetekst]

Ifølge Hebsgaard (1995) findes der flere forskellige typer differentialligninger.

· Den proportionale første ordens differentialligning[17]

og dens fuldstændige løsning

· Den lineære første ordens differentialligning[18]

og dens fuldstændige løsning

· Den proportionale anden ordens differentialligning[19]

og dens fuldstændige løsning

for

for

for

Løsningen beregnes nemt ved at integrere to gange.

Eksempler på anvendte differentialligninger[redigér | rediger kildetekst]

fig. proprotional (1 af 2) viser separation af de variable for proportional første ordens differentialligning.
fig. proprotional (2 af 2) viser separation af de variable for proportional første ordens differentialligning med de to stamfunktioner og fælles integrationskonstant. Nederste linje er en almindelig ligning, hvori y skal isoleres. En proportional første ordens differentiallignings løsning er forskrift for eksponentiel vækst.[26]
Xcas løser første ordens og anden ordens differentialligninger algebraisk.
fig. lineær (1 af 2) viser separation af de variable for lineær første ordens differentialligning.
fig. lineær (2 af 2) viser separation af de variable for lineær første ordens differentialligning med stamfunktioner og fælles integrationskonstant. Nederste linje er en almindelig ligning, hvori y skal isoleres En lineær første ordens differentiallignings løsning er forskrift for forskudt eksponentiel vækst.[27]


Figuren viser to eksempler på at starte løsningen af den separable første ordens differentialligning, hvis ikke-trivielle løsning er forskriften for logisitisk vækst, ved metoden separation af de variable.


Løsning[redigér | rediger kildetekst]

For en separabel første orden differentialligning skelner man mellem den fuldstændige løsning og en partikulær løsning;[28] den fuldstændige løsning omfatter alle løsninger;[29] en partikulær løsning er derimod en konkret løsning;[30] først beregner man den fuldstændige løsning og herefter beregner man en partikulær løsning.[31][32]

En funktion , som tilfredsstiller en differentialligning, kaldes en løsning. Grafen for kaldes en løsningskurve eller integralkurve;[33] samtlige funktioner, som tilfredsstiller en differentialligning kaldes den fuldstændige løsning.[3][34] Korte stumper af løsningskurver indtegnet i koordinatsystemet betegnes linjeelementer.[35]

Løsningsmetoder[redigér | rediger kildetekst]

Separabel første ordens differentialligning[redigér | rediger kildetekst]

Beviset for, at den logistiske funktions forskrift er løsningen til en differentialligning, kan føres vha. separation af de variable;[36] hvor . En separabel første ordens differentialligning kan opfattes som to ubestemte integraler. Der er tale om et ubestemt integrale af og et andet ubestemt integrale af .[37] Men der er gået kludder i de to ubestemte integraler. Så samler man alt, der har med at gøre på den ene side af lighedstegnet; mens alt, som har med at gøre, samler man på den anden side af lighedstegnet.[38]

Ved at anvende separation af de variable samt skrive to stamfunktioner og den fælles integrationskonstant (gerne med et græsk bogstav) er der fremkommet en almindelig ligning.

Så er det lettere at isolere i den almindelige ligning.[39] Når man har isoleret , så har man beregnet differentialligningens fuldstændige løsning.[40] Ved først at isolere konstanten ;[41] og så indsætte løsningskurvens punkts koordinater i den fuldstændige løsning beregner man den partikulære løsning, der indeholder det punkt, som løsningskurven gennemskærer.

CAS-softwares[redigér | rediger kildetekst]

En håndfuld CAS-softwares kan løse differentialligninger algebraisk.[42] Den typiske kommando for at løse differentialligning er

enten:

dsolve( , ) for Maple[43][44] og Mathematica[45]

eller:

deSolve( ,,)[46] for TI-Nspire CAS[47][48] og TI-92 Plus online emulator[49] og TI-89 online simulator[50]

hhv.

desolve( , ) for SageMath[51] og Xcas[52] og ExpressionsinBar[53][54]


Disse websites kan løse differentialligninger

Kunstig intelligens[55] er ved at lære at løse første ordens og anden ordens[56] differentialligninger.[57]

IT-afsnit[redigér | rediger kildetekst]

Som en del af Edge browser kan MS Copilot bevise den proportionale differentiallignings løsningsformel, hvis man promter dette:

bevis differentialligningen dy/dx=k*y med forklaringer undervejs ved metoden separation af variable[58]

Eksterne kilder[redigér | rediger kildetekst]

Bøger[redigér | rediger kildetekst]

Referencer[redigér | rediger kildetekst]

  1. ^ "Arkiveret kopi". Arkiveret fra originalen 14. februar 2020. Hentet 13. april 2020.
  2. ^ Carstensen, Jens & Frandsen, Jesper (1985): Matematik 2 - Matematik for gymnasiets matematisk-fysiske gren. Forlaget Systime, Herning. ISBN 87-7351-287-7 (s. 224)
  3. ^ a b Hebsgaard (1990) s. 67
  4. ^ https://brushup.aau.dk/2020e/mat-intensiv/aalborg/?file=upload/oplaeg26.pdf (Webside ikke længere tilgængelig)
  5. ^ "Arkiveret kopi" (PDF). Arkiveret (PDF) fra originalen 23. november 2018. Hentet 11. november 2020.
  6. ^ "Arkiveret kopi". Arkiveret fra originalen 18. februar 2020. Hentet 24. april 2020.
  7. ^ Udregning af hastighed | Ingeniøren
  8. ^ Herman & Strang (2016) s. 366-369
  9. ^ "Arkiveret kopi". Arkiveret fra originalen 6. september 2018. Hentet 24. april 2020.
  10. ^ "Arkiveret kopi". Arkiveret fra originalen 17. februar 2021. Hentet 26. april 2020.
  11. ^ Separation of variables - MaplePrimes
  12. ^ http://www2.mat.dtu.dk/education/01007/separation_variable.pdf
  13. ^ "Arkiveret kopi". Arkiveret fra originalen 20. september 2020. Hentet 24. april 2020.
  14. ^ "Arkiveret kopi". Arkiveret fra originalen 19. august 2019. Hentet 24. april 2020.
  15. ^ "Arkiveret kopi" (PDF). Arkiveret (PDF) fra originalen 22. januar 2018. Hentet 20. januar 2021.
  16. ^ "Arkiveret kopi". Arkiveret fra originalen 23. september 2020. Hentet 24. april 2020.
  17. ^ Hebsgaard (1995) s. 71-72
  18. ^ Hebsgaard (1995) s. 72-73
  19. ^ Hebsgaard (1995) s. 82-83
  20. ^ "Arkiveret kopi". Arkiveret fra originalen 23. september 2020. Hentet 11. november 2020.
  21. ^ "Arkiveret kopi" (PDF). Arkiveret (PDF) fra originalen 4. marts 2018. Hentet 11. november 2020.
  22. ^ mekanik | lex.dk – Den Store Danske
  23. ^ "Arkiveret kopi". Arkiveret fra originalen 8. september 2019. Hentet 11. november 2020.
  24. ^ https://steen-toft.dk/mat/20122013/3g1/model/henfald.pdf
  25. ^ "Arkiveret kopi" (PDF). Arkiveret (PDF) fra originalen 7. juni 2020. Hentet 11. november 2020.
  26. ^ Eksponentiel vækst på webmatematik.dk
  27. ^ Forskudt eksp. vækst på webmatematik.dk
  28. ^ Fuldstændig og partikulær løsning på balderholst.com
  29. ^ Førsteordens lineære differentialligninger på dtu.dk
  30. ^ Bestemmelse af løsninger på mathhx.dk
  31. ^ Fordelen ved differentialligningen ved empirisk modellering på ruc.dk
  32. ^ at beregne den partikulære løsning sker ved at isolere c i formlerne (157) & (158) & (159) & (160) på side 23 i Marianne Kesselhahn & Bjørn Grøn (2007): Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen på uvm.dk
  33. ^ "Arkiveret kopi". Arkiveret fra originalen 15. juni 2020. Hentet 14. juni 2020.
  34. ^ Differentialligninger på solve-x.dk & Løsninger til differentialligninger på webmatematik.dk
  35. ^ Hebsgaard (1995) s. 128
  36. ^ siderne 5-7 i Erik Vestergaard: Differentialligninger - separation af variable på matematikfysik.dk
  37. ^ side 46 i Steen Bentzen: ”Matematik for Gymnasiet. Differentialligninger og matematiske modeller” på uvmat.dk
  38. ^ Separation af variable på matlet.dk
  39. ^ siderne 7 - 10 i Henrik Søgaard Hansen: Differentialligninger på intranet.sctknud-gym.dk
  40. ^ Løsninger til differentialligninger på webmatematik.dk
  41. ^ side 109 i Formelsamling til matematik af Ventus på matnat.dk & side 29 i Matematisk formelsamling stx A-niveau, maj 2018, på emu.dk
  42. ^ "Arkiveret kopi". Arkiveret fra originalen 23. februar 2017. Hentet 7. maj 2020.
  43. ^ Løsning af differentialligning med Maple - YouTube
  44. ^ "Arkiveret kopi" (PDF). Arkiveret (PDF) fra originalen 27. november 2020. Hentet 19. november 2020.
  45. ^ "Arkiveret kopi" (PDF). Arkiveret (PDF) fra originalen 15. februar 2020. Hentet 19. maj 2020.
  46. ^ "Arkiveret kopi". Arkiveret fra originalen 23. oktober 2020. Hentet 26. december 2020.
  47. ^ "Arkiveret kopi". Arkiveret fra originalen 30. maj 2018. Hentet 1. december 2020.
  48. ^ "Arkiveret kopi". Arkiveret fra originalen 24. september 2020. Hentet 1. december 2020.
  49. ^ "Arkiveret kopi". Arkiveret fra originalen 5. november 2020. Hentet 26. december 2020.
  50. ^ "Arkiveret kopi". Arkiveret fra originalen 15. januar 2021. Hentet 26. december 2020.
  51. ^ "Arkiveret kopi". Arkiveret fra originalen 14. januar 2020. Hentet 25. april 2020.
  52. ^ "Arkiveret kopi" (PDF). Arkiveret (PDF) fra originalen 29. juli 2014. Hentet 25. april 2020.
  53. ^ "Arkiveret kopi". Arkiveret fra originalen 29. september 2020. Hentet 17. maj 2020.
  54. ^ ExpressionsinBar can solve differential equations - YouTube
  55. ^ https://medium.com/swlh/artificial-intelligence-can-now-solve-a-mathematical-problem-that-can-make-researchers-life-easier-9602c869128
  56. ^ https://ai.facebook.com/blog/using-neural-networks-to-solve-advanced-mathematics-equations/
  57. ^ Facebook's AI mathematician can solve university calculus problems | New Scientist
  58. ^ bevis differentialligningen dy/dx=k*y med forklaringer undervejs ved metoden separation af variable på bing.com