Differentialligning

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

En differentialligning er en ligning, hvori der indgår en (ubekendt) funktion og dens afledede. At løse (eller "integrere") differentialligningen vil sige at finde en funktion, som tilfredsstiller denne.

Den helt generelle form for en n'te ordens lineær differentialligning ser altså således ud:

 a_n \cdot {d^n y \over dt^n} + a_{n-1} \cdot {d^{n-1} y \over dt^{n-1}} + \dots + a_1 y = u(t) \quad , \quad a_n \neq 0

Såfremt u(t) eller påvirkningen er lig nul, siger man, at differentialligningen er homogen, og i alle andre tilfælde, at den er inhomogen.

Med andre ord angiver man differentialligningens orden efter, hvor mange gange der højest er differentieret, og man kan altså dermed lave differentialligninger af vilkårlig høj/lav orden.

Et glimrende eksempel på benyttelse af differentialligninger i hverdagen er beskrivelsen af hhv. fart og acceleration i én dimension. Farten v er defineret som ændring i position s per tidsenhed:

 v = {ds \over dt}

Samtidig er accelerationen defineret ved ændringen i hastighed per tid:

 a = {dv \over dt} = {d^2 s \over dt^2}

Hvilket er ganske håndgribelige eksempler på benyttelse af differentialligninger af hhv. første og anden orden. For som man kan se, lader man en parameter, i dette tilfælde strækning eller hastighed, variere som funktion af tiden. Accelerationen ses altså i øvrigt som en første ordens differentialligning ift. hastigheden differentieret mht. tiden, hvorimod differentialligningen for accelerationen er af anden orden, hvis man ser på stedet differentieret mht. tiden.

Mere praktiske eksempler er differentialligninger til beskrivelse af elektriske kredsløb eller til beskrivelse af et masse-fjedersystem. Her tænkes der på en masse, som er fastmonteret til en fjeder, hvorefter fjederen bliver strakt ud. Beskrivelsen af den oscillerende bevægelse frem og tilbage beskrives typisk også med en differentialligning, men dette er naturligvis kun ganske få udpluk af utallige praktiske anvendelser.

Commons-logo.svg
Wikimedia Commons har medier relateret til: