Differentialligning

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning

En differentialligning er en ligning, hvori der indgår en (ubekendt) funktion og dens afledede. At løse (eller "integrere") differentialligningen vil sige at finde en funktion, som tilfredsstiller denne.

Den helt generelle form for en n'te ordens lineær differentialligning ser altså således ud:

Såfremt u(t) eller påvirkningen er lig nul, siger man, at differentialligningen er homogen, og i alle andre tilfælde, at den er inhomogen.

En differentiallignings orden afhænger af, hvor mange gange der højest er differentieret. Ordenen kan således være fra et og opefter.

Et glimrende eksempel på benyttelse af differentialligninger i hverdagen er beskrivelsen af hhv. hastighed og acceleration i én dimension. Hastigheden (v) er defineret som ændring i position (s) per tidsændring (t):

Samtidig er acceleration (a) ændringen i hastighed per tidsændring:

Dette er eksempler på differentialligninger af hhv. første og anden orden, idet man kan opfatte både strækning og hastighed, som en funktion, der afhænger af tiden.

Flere praktiske eksempler er differentialligninger til beskrivelse af elektriske kredsløb eller til beskrivelse af et masse-fjedersystem. Her tænkes der på en masse, som er fastmonteret til en fjeder, hvorefter fjederen bliver strakt ud. Beskrivelsen af den oscillerende bevægelse frem og tilbage beskrives typisk også med en differentialligning. Dette er kun ganske få udpluk af utallige praktiske anvendelser.

Eksempel: Lodret kast med bold[redigér | redigér wikikode]

Et konkret eksempel på anvendelse af ovenstående differentialligninger kan ses ved at kaste en bold lodret op i luften og beregne, hvornår den rammer jorden. Ses der bort fra luftmodstanden, vil denne bold accelerere nedad med tyngdeaccelerationen, g, som i Danmark er omtrent 9,82 m/s². Det betyder, at følgende differentialligning kan opstilles for boldens højde over jorden, s(t):

Hvor strækningen er målt i meter og tiden i sekunder. Det negative fortegn skyldes, at tyngdekraften presser nedad på bolden.

Der antages yderligere, at bolden kastes opad med farten 5 m/s og at den slippes fra en højde på 1,5 m. Disse to informationen kaldes begyndelsesbetingelser til differentialligningen. De kan skrives matematisk, som hhv.:

Løsningen til differentialligningen kan findes ved at integrere af to omgange. Først findes hastigheden:

I denne differentialligning kan den første begyndelsesbetingelse indsættes, så der opnås:

Dette er en udtryk for boldens hastighed. Ønskes strækningen integreres det:

Heri kan den anden begyndelsesbetingelse anvendes:

Dette er den løsningen til den oprindelige differentialligning. Spørgsmålet om hvornår den rammer jorden kan besvares ved at løse andengradsligningen:

Hvilket giver den positive løsning:

Bolden rammer derfor jorden efter 1,23 sekunder.

Eksempler på anvendte differentialligninger[redigér | redigér wikikode]

Løsningsmetoder[redigér | redigér wikikode]

Commons-logo.svg
Wikimedia Commons har medier relateret til: