Differentialregning

Differentiering omdirigeres hertil. For differentiering i forbindelse med undervisning, se Undervisningsdifferentiering.

Differentialregning udgør sammen med integralregning den matematiske disciplin der hedder infinitesimalregning. Differentialregningen beskæftiger sig med, hvor meget en såkaldt afhængig variabel ændres, hvis der sker små ændringer i den variabel, den afhænger af, den uafhængige variabel. Forholdet mellem ændringerne i hhv. den afhængige og den uafhængige variabel kaldes differentialkvotienten, og spiller en central rolle i differentialregningen.

Et dagligdags eksempel er sammenhængen mellem bruttoløn og lønnen efter skat: Hvis bruttolønnen stiger med én krone, ændres lønnen efter skat med f.eks. 53 øre. Differentialkvotienten er i dette tilfælde 0,53. Matematisk vil man betragte nettolønnen som en funktion af bruttolønnen, og differentialkvotienten svarer i dette tilfælde til marginalindkomsten (en krone minus marginalskatten) ved denne bruttoløn.

I eksemplet med lønnen bør man bemærke, at på grund af progressionen i bl.a. det danske skattesystem varierer marginalskatten: Har man i forvejen en lav løn, mærker man en større stigning i nettolønnen end hvis lønnen er større, dette kaldes progressiv beskatning. Med andre ord varierer differentialkvotienten med den uafhængige variabel (bruttolønnen), og er dermed selv en funktion af denne; en funktion der angiver hvor meget "glæde" man har af én krones lønforhøjelse.

Differentialkvotienten

Notation

Man anvender en del forskellige skrivemåder for differentialkvotienter:

$y(x)$ har differentialkvotienten $y'(x)$ , og det læses y mærke (af) x. I visse sammenhænge skriver man blot $y'$ (læses y mærke). Når denne notation bruges, må det af sammenhængen fremgå hvad der er den uafhængige variabel hvis variationer påvirker $y$ .
En variant af denne er ${\dot {y}}$ , der læses y prik eller y punkt. Denne notation benyttes kun når den uafhængige variabel er tiden. Varianten har sin oprindelse i fysik.
Leibniz' notation: Differentialkvotienten til $y(x)$ skrives som ${\frac {dy(x)}{dx}}$ eller blot ${\frac {dy}{dx}}$ , og det læses d-y over d-x (dvs. meget kort pause mellem d og y etc.) eller blot d-y d-x. Den sidste form kan føre til forvirring da produktet $dxdy$ også benyttes i infinitesimalregningen, og også læses d-x d-y.
En sidste variant er $D_{x}y$ .

Udregning

De fleste (men ikke alle) matematiske funktioner kan beskrives ved en forskrift; et regneudtryk der beregner funktionsværdien (også kaldet den afhængige variabel) $y(x)$ ud fra den uafhængige variabel $x$ . Ved hjælp af differentialregning kan man beregne forskriften for den afledede af $y(x)$ ; dvs. den funktion der i ethvert punkt er $y(x)$ 's differentialkvotient i samme punkt. Dette kaldes at differentiere funktionen eller differentiering.

Man kan tilnærmelsesvist beregne differentialkvotienten for en funktion $y(x)$ i et givet punkt $(x,y(x))$ , ved at betragte et punkt en anelse ved siden af. Hvis forskellen mellem de to punkters $x$ -værdier kaldes $\Delta x$ , er tilvæksten i funktionen fra $x$ til $x+\Delta x$ lig $y(x+\Delta x)-y(x)$ . Forholdet mellem tilvæksten i $y(x)$ (kaldet $\Delta y(x)$ ) og tilvæksten i $x$ er derved:

{\frac {y(x+\Delta x)-y(x)}{(x+\Delta x)-x}}={\frac {\Delta y(x)}{\Delta x}}

Dette er det samme som hældningstallet for den linje der går igennem de to punkter $(x,y(x))$ og $(x+\Delta x,y(x+\Delta x))$ . Jo mindre $\Delta x$ bliver, dvs. jo tættere de to punkter kommer på hinanden, desto tættere kommer $\Delta y(x)/\Delta x$ på den eksakte værdi for differentialkvotienten $y'(x)$ i punktet $x$ .

Hvis man sætter $\Delta x$ lig med nul, burde man således få den eksakte værdi, men dette gør samtidig at nævneren i den sidst nævnte brøk bliver lig med nul – og man kan som bekendt ikke dividere med nul. I stedet bruger man grænseværdier til at beregne den værdi som hældningstallet nærmer sig, når $\Delta x$ nærmer sig nul, dvs.

f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {df(x)}{dx}}

Hvis ovenstående grænseværdi findes for ethvert punkt i funktionens definitionsmængde, siges funktionen at være differentiabel.

Man ser her begrundelsen for notationen $dy/dx$ – når $\Delta x$ går mod nul, dvs. bliver infinitesimal, skriver man den som $dx$ .

Regneregler

Ovenstående definition kan bruges til at "omregne" forskriften for en funktion, til forskriften for samme funktions differentialkvotient. Man kan f.eks. påvise at:

$y(x)=k$ , hvor $k$ er en konstant, har den afledede $y'(x)=0$
$y(x)=x\cdot k$ , hvor $k$ er en konstant, har den afledede $y'(x)=k$
$y(x)=k\cdot x^{n}$ har den afledede $y'(x)=k\cdot n\cdot x^{n-1}$ , og heraf
$y(x)={\frac {1}{x}}$ har den afledede $y'(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}$
Sinus-funktionen $\sin(x)$ har differentialkvotienten $\sin '(x)=\cos x$
Cosinus-funktionen $\cos(x)$ har differentialkvotienten $\cos '(x)=-\sin x$
Tangens, $\tan(x)$ , har differentialkvotienten $\tan '(x)=1+\tan ^{2}(x)$
Den naturlige eksponentialfunktion, $e^{x}$ , er pr. definition lig med sin differentialkvotient. Dvs. at konstanten e er defineret til at være det reelle tal som opfylder ligningen ${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$ .
Den naturlige logaritme, $\ln(x)$ , har differentialkvotienten $\ln '(x)={\frac {1}{x}}$

Funktioner der er sammensatte funktioner samt funktioner der er summen, differensen, produktet eller kvotienten af to differentiable funktioner er selv differentiable (med visse, åbenlyse begrænsninger i definitionsmængderne). Differentialkvotienterne kan udregnes efter følgende regler:

$(f\circ g)'(x)=(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$
$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x){\frac {}{}}$
$(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x){\frac {}{}}$
$(f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
$\left({\frac {f}{g}}\right)'(x)={\frac {f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^{2}}}$

Disse "omregnings-regler" kan alle bevises. Se evt. Matematiske beviser.

Alle differentiable funktioner er kontinuerte, hvorimod kontinuerte funktioner ikke nødvendigvis er differentiable.

Differentialkvotienten af en sum

Hvis $A\subseteq \mathbb {R}$ , $a\in A$ og funktionerne $f$ og $g:A\to \mathbb {R}$ er differentiable i $a$ , er $f+g$ differentiabel i $a$ og differentialkvotienten af summen $f+g$ i $a$ lig summen af funktionernes differentialkvotienter.

Sætningen: $(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)$

Grafer, tangenter og hældningstal

Graferne for en funktion f (øverst) og dens differentialkvotient f'(x) (nederst)

På illustrationen til højre ses øverst grafen for en funktion $f$ (blå kurve): I forskellige punkter langs grafen (grønne pletter) er der indtegnet tangenter til grafen (de røde linjestykker). Hældningstallet for en tangent til grafen for $f$ , tegnet i det punkt der svarer til en bestemt værdi af $x$ , er lig med $f'(x)$ .

Den orange kurve nederst på illustrationen er grafen for differentialkvotienten $f'(x)$ til funktionen $f(x)$ : Bemærk, at når $f$ er aftagende, er $f$ ' negativ, og de steder hvor $f$ er voksende, er $f'$ positiv. De steder hvor tangenterne til grafen for $f$ er vandrette, bliver $f'$ lig med nul.

Anvendelse i funktionsanalyse

Ved at finde forskriften for $f'(x)$ , sætte denne lig med nul og løse den ligning der derved fremkommer, kan man finde de værdier af $x$ hvor grafen for $f(x)$ "vender om", dvs. skifter fra at være voksende til at være aftagende eller omvendt. Dog skal man være opmærksom på at $f$ f.eks. kan være stigende indtil et vist punkt $x$ hvor differentialkvotienten $f'(x)$ er lig med nul, for derefter at stige igen. Dette kaldes et saddelpunkt eller vandret vendetangent, og kan afsløres ved at undersøge om $f'(x)$ skifter fortegn fra den ene side af det fundne $x$ til den anden. I så fald vil man i punktet finde en "vendetangent" og dermed ikke et ekstremumspunkt. Alle de værdier af $x$ hvor $f'(x)$ er lig med nul, og som ikke er saddelpunkter, markerer et såkaldt ekstremum; her antager $f$ den højeste eller laveste værdi, enten for hele funktionens definitionsmængde (såkaldt globalt maksimum eller minimum), eller indenfor et vist område omkring det fundne $x$ (lokalt maksimum eller minimum). Dette benyttes ved funktionsanalyse til at bestemme værdimængden for en given funktion. Den ovenstående beskrivelse af en funktionsanalyse mht. ekstremumspunkter kaldes også at finde funktionens monotoniforhold. Til analysen kan tegnes en tilhørende monotonilinje, hvor funktionsværdien angives sammen med $f'(x)$ 's værdi. Ved at se på $f'(x)$ 's værdier afgøres herved om funktionen er voksende, aftagende eller konstant.

Relation til integralregning

Differentiering er den omvendte operation af integration: Funktionen $F(x)$ siges at være en stamfunktion til funktionen $f(x)$ , hvis differentialkvotienten af $F(x)$ er $f(x)$ , dvs.: $F'(x)=f(x)$ .

Vender man tilbage til skatteeksemplet i begyndelsen af artiklen, kunne man, hvis man kendte sin marginalindkomst for enhver given indtægt, beregne sin nettoindkomst ved at lægge marginalindkomsterne for hver tjent krone sammen. Dette er netop kernen i integration. Se også Infinitesimalregningens hovedsætning.

Partielle afledede

Differentialkvotienten beskrevet ovenfor kan generaliseres til det tilfælde hvor en funktion har flere uafhængige variable, f.eks. $f(x,y)$ . Her definerer man de partielle afledede på samme måde som ovenfor, blot betragter man de andre uafhængige variable som konstanter under differentieringen. For at vise at man har brugt denne fremgangsmåde erstattes det infinitesimale $dx$ med $\partial x$ :

{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}}

Se også