Euler-Lagrange-ligning

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning

En Euler-Lagrange-ligning er en partiel differentialligning, for hvilken det gælder at løsningen er en mængde af funktioner som opfylder at den første afledte for en given funktional (se funktional-afledte) er lig nul. Euler-Lagrange-ligningen optræder bl.a. inden for analytisk mekanik som betingelsen for stationering af virkningsfunktionalen for et givent mekanisk system.

Givet en funktional på formen

da er den første funktional-afledte mht. ved givet ved:

er stationær, når den funktional-afledte er lig nul, hvorved Euler-Lagrange-ligningerne fås:

Endimensionelt eksempel[redigér | redigér wikikode]

Et bestemt mekanisk system beskrevet ved én koordinat x har Lagrangefunktionen:

Dvs. at den kinetiske energi er givet som for en klassisk punktmasse med massen m og hastigheden , mens den potentielle energi afhænger af positionen (den potentielle energi ville i det mest brugte eksempel, hvor partiklen befinder sig i et homogent tyngdefelt være givet på formen ).

Systemet vil udvikle sig således at virkningen stationeres, og systemets dynamik er da beskrevet ved Euler-Lagrange-ligningen:

Eftersom den dobbelte tidsafledte mht. positionen er accelerationen og den positionsafledte mht. det negative potentiale svarer til kraftkomposanten i retning af x, svarer til Newtons anden lov.

FysikStub
Denne artikel om fysik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet, kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den.