Eulers konstant

Denne artikel omhandler konstanten $\gamma =0,577\dots$. For Eulers tal $e=2,718\dots$, se e (tal).

Eulers konstant $\gamma$ er lig med summen af arealerne af de lysegrønne toppe. Den er omtrent lig med 0.577.

Eulers konstant er en matematisk konstant defineret som grænseværdien af forskellen mellem den harmoniske række $H_{n}$ og den naturlige logaritme $\ln(n)$, når man lader $n$ vokse ubegrænset. Den betegnes i dag universelt med det græske bogstav $\gamma$ og kaldes undertiden også (lidt tungt) Euler-Mascheroni-konstanten.

Den harmoniske række er defineret som en sum af stambrøker:

$H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+...+{\frac {1}{n}}$

Dens præcise matematiske definition er følgende:

$\gamma =\lim _{n\to \infty }\left(H_{n}-\ln(n)\right)\ =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n)\right)$.

Dette kan omskrives til

$\gamma =\int _{1}^{\infty }\left({\frac {1}{\lfloor x\rfloor }}-{\frac {1}{x}}\right)\,\mathrm {d} x$

hvor $\lfloor x\rfloor$ betegner heltalsdelen af tallet $x$, altså det største heltal, som er mindre end eller lig $x$. Eksempelvis er $\lfloor 7.89\rfloor =7$ og $\lfloor \pi \rfloor =3$.

Talværdien af Eulers konstant er med 50 decimaler:

$\gamma$ = 0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 ...

Geometrisk illustration af $\gamma$

Både $H_{n}$ og $\ln(n)$ vokser (langsomt) mod uendelig, når $n$ gør det, men deres forskel gør det ikke, den nærmer sig $\gamma$.

Illustrationen viser en række grønne søjler, der alle har bredden 1 og søjle nummer $n$ har højden $1/n$. For tydelighedens skyld er enheden på andenaksen tidoblet. Rektanglernes arealer er altså $1/n$ og deres sum er $H_{n}$. Den røde kurve angiver grafen for reciprokfunktionen $y=1/x$, og arealet under denne fra 1 til $n$ er netop $\ln(n)$. Forskellen mellem dem er de lysegrønne søjledele, som stikker op over den røde graf. Summen af disses arealer er netop $\gamma$,

Matematikhistorie

Konstanten dukker første gang op i en artikel fra 1734 af den betydelige schweiziske matematiker Leonhard Euler med titlen De Progressionibus harmonicis observationes (Bemærkninger om harmoniske progressioner). Heri nævner han, at konstanten "fortjener en seriøs undersøgelse". Euler beregnede oprindeligt konstantens værdi med 6 decimaler og i 1781 med 16 decimalers nøjagtighed og betegnede den med $C$ eller $O$.

Den italienske matematiker Lorenzo Mascheroni forsøgte at beregne konstanten med 32 decimaler, men hans offentliggjorte værdi er fejlagtig på 20. - 22., 31. og 32. decimal.

Fra 20. decimal og frem fik han	...1811209008239
men de korrekte cifre er	...0651209008240

Da de mellemliggende cifre er korrekte, kan det dreje sig om en sjuskefejl ved kopiering af tallet og er næppe en regnefejl.

Betegnelsen $\gamma$ optræder ingen steder i Eulers og heller ikke i Mascheronis skrifter, selv om man om ham kan se dette påstået. Den kom i vælten på et senere tidspunkt, måske på grund af dens forbindelse til en af den højere matematiks vigtigste funktioner, gamma-funktionen ^(en).

Det hidtil største antal beregnede cifre i $\gamma$ blev offentliggjort 7. september 2023. Beregneren, Andres Sun, nåede op på 1 337 000 000 000 decimaler og udregningen på en Intel Xeon computer tog 28.5 døgn.

Status for Eulers konstant

På trods af at mange betydningsfulde matematikere har beskæftiget sig med konstanten, så vides det i dag stadig ikke, om $\gamma$ er et rationalt eller irrationalt, altså om det kan skrives som en brøk.

Det indiske matematikgeni Srinivasa Ramanujan behandlede den i en artikel i 1917. Datidens største matematiker, tyskeren David Hilbert bemærkede, at spørgsmålet om, hvorvidt $\gamma$ kunne være en brøk eller var et irrationalt tal, var et stort uløst problem, som virkede "utilnærmeligt".

Den engelske matematiker Godfrey Hardy, som havde den højt ansete stilling som Savilian Professor of Geometry ved Oxford Universitet, skal angiveligt have tilbudt stillingen til den, som kunne bevise, at konstanten er et irrationalt tal.

Problemet er stadig uløst i dag. Dog ved man, at hvis konstanten faktisk er en brøk, $\gamma ={\tfrac {p}{q}}$, hvor $p$ og $q$ er hele tal, så må nævneren $q$ have en fabelagtig høj værdi på mindst $10^{244\,663}$. Det kan sammenlignes med, at antallet af atomer i den synlige del af Universet er skønnet til $10^{80}$.

Hvis $\gamma$ kan bevises at være et irrationalt tal, så står det stadig tilbage at undersøge, om det er algebraisk. Hvis ikke er det transcendent, hvilket også er tilfældet med de mere velkendte matematiske konstanter, cirkeltallet $\pi$ og tallet ${\text{e}}$, der er grundtal for eksponentialfunktionen og for den naturlige logaritmefunktion.

Tallet $\gamma$ dukker op i mange matematiske discipliner matematisk analyse, talteori og funktionsteori. Mange bestemte integraler har værdier, som indeholder det.

Kædebrøk

Eulers konstant kan repræsenteres ved denne kædebrøk:

$\gamma =0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+\dots }}}}}}}}}}}}}}$

Denne kædebrøk har ikke noget umiddelbart mønster, og den kendes med mindst 16 695 000 000 led.

Integraler

En række bestemte integraler er lig med $\gamma$:

$\gamma =-\int _{0}^{\infty }{\text{e}}^{-x}\ln(x)\,{\text{d}}x$

$\gamma =-\int _{0}^{1}\ln \left(\ln \left({\frac {1}{x}}\right)\right)\,{\text{d}}x$

$\gamma =\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{{\text{e}}^{x}-1}}-{\frac {1}{x\cdot {\text{e}}^{x}}}\right){\text{d}}x$

Endvidere indgår $\gamma$ i en række endelige integraler, herunder disse:

$\int _{0}^{\infty }{\text{e}}^{-x^{2}}\ln(x)\,{\text{d}}x=-{\frac {(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi }}}{4}}$

$\int _{0}^{\infty }{\text{e}}^{-x}\ln ^{2}(x)\,{\text{d}}x=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {{\text{e}}^{-x}\ln(x)}{{\text{e}}^{x}+1}}\,{\text{d}}x={\frac {1}{2}}\ln ^{2}2-\gamma$