Fouriertransformation

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Fouriertransformation også kaldet Fourierafbildning er en matematisk funktion der bruges inden for blandt andet signalbehandling. Indenfor signalbehandling, hvor input er et tidssignal, kaldes Fouriertransformationens definitionsmængde for tidsdomæne - og værdimængden for frekvensdomæne.

For eksempel kan man med Fouriertransformation "måle" hvilke rene toner, der indgår i en digital indspilning af en stump musik. Man kan betragte en Fouriertransformation som en måde at nedbryde en funktion, så alle dens frekvenskomponenter bliver adskilt i et frekvensspektrum. Omvendt vil en invers-Fouriertransformation af et spektrum ideelt set resultere i funktionen selv. Man kan sammenligne det med at tage en akkord (funktionen) og adskille den i de enkelte toner (frekvenser), som den indeholder.

En mere matematisk måde at opfatte Fouriertransformationen på er som operation, der repræsenterer en funktion, som en linearkombination af sinus og cosinus funktioner.

Transformationen er opkaldt efter den franske matematiker Joseph Fourier. Fourierrækker er nært beslægtet område.

Matematikken bag Fouriertransformationen[redigér | redigér wikikode]

Fouriertransformation af et kontinuert-tidssignal er givet ved følgende integral:

.

Her er vinkelfrekvensen, er grundtallet for den naturlige logaritme og er den imaginære enhed. Denne operation betegnes også som Fourieranalyse. Tilsvarende kan den inverse Fouriertransformation defineres som:

Den inverse operation betegnes også som Fouriersyntese. I mange sammenhænge er en reel funktion, mens ofte bliver til en kompleks funktion.

Bruger man den cykliske frekvens i stedet for vinkelfrekvensen får man Fourierintegralerne til at blive:

Med Eulers formel kan man omskrive Fourierintegralerne så de bliver udtrykt med sinus og cosinus funktionerne:

Alternative definitioner[redigér | redigér wikikode]

Fouriertransformationen og dens inverse transformation kan også defineres på andre måder:

.

Her skal det gælde at . Indenfor visse områder bruger man følgende normalisering: .

Diskret Fouriertransformation[redigér | redigér wikikode]

Hvis tiden og (vinkel)frekvensen bliver diskretiseret og er endelige taler man om diskret Fouriertransformation (DFT). DFT udføres sædvanligvis med en hurtig algoritme kaldet FFT efter engelsk fast Fourier transform. Den diskrete Fouriertransformation kan defineres som:

Den tilsvarende inverse diskrete Fouriertransformation defineres da som

Tabel over vigtige Fouriertransformationer[redigér | redigér wikikode]

De følgende tabeller viser nogle closed-form Fouriertransformationer. For funktioner f(x), g(x) og h(x) vises deres Fouriertransformationer ved henholdsvis , og . Kun de tre mest almindelige Fouriertransformationskonventioner er inkluderet.

Det kan være nyttigt at bemærke at 105 giver en sammenhæng mellem en Fouriertransformation af en funktion og den oprindelige funktion, hvilket kan ses ved sammenhængen mellem Fouriertransformation og dens inverse.

Funktionelle sammenhænge[redigér | redigér wikikode]

Fouriertransformationer i denne tabel kan findes i Erdélyi1954[1] eller Kammler2000[2].

Funktion Fouriertransformation
unitær, ordinær frekvens
Fouriertransformation
unitær, angulær frekvens
Fouriertransformation
ikke-unitær, angulær frekvens
Bemærkninger



Definition
101 Linaritet
102 Parallelforskydning i tidsdomænet
103 Parallelforskydning i frekvensdomænet, duale af 102
104 Skalering i tidsdomænet. Hvis er stor, så er koncentreret omkring 0 og spredes ud - og trykkes mod ordinataksen.
105 Dualitet.
106
107 Dette er den duale af 106
108
109 Dette er den duale af 108
110 For rent reelle funktioner Hermitisk symmetri.
111 For med rent reelle lige funktioner , og er rent reelle lige funktioner.
112 For med rent reelle ulige funktioner , og er rene imaginære ulige funktioner.
113 Kompleks konjugation, generalisering af 110
114
115

Kvadratisk-integrable funktioner[redigér | redigér wikikode]

Fouriertransformationer i denne tabel kan findes i CampbellFoster1948[3], Erdélyi1954[1] eller appendiks af Kammler2000[2].

Funktion Fouriertransformation
unitær, ordinær frekvens
Fouriertransformation
unitær, angulær frekvens
Fouriertransformation
ikke-unitær, angulær frekvens
Bemærkninger



201
202 Duale af regel 201.
203
204 Duale af regel 203.
205
206
207
208
209

 


 


 

Fordelinger[redigér | redigér wikikode]

Fouriertransformationer i denne tabel kan findes i Erdélyi1954[1] eller appendiks i Kammler2000[2].

Funktion Fouriertransformation
unitær, ordinær frekvens
Fouriertransformation
unitær, angulær frekvens
Fouriertransformation
ikke-unitær, angulær frekvens
Bemærkninger



301 Fordelingen δ(ξ) henviser til Diracs deltafunktion.
302 Duale af regel 301.
303 Dette følger af 103 og 301.
304
305
306
307
308
309
310

311
Specielt tilfælde af 311.
312 Den duale af regel 309.
313
314
315
317 er Euler–Mascheroni konstant.
318

To-dimensionelle funktioner[redigér | redigér wikikode]

Funktion Fouriertransformation
unitær, ordinær frekvens
Fouriertransformation
unitær, angulær frekvens
Fouriertransformation
ikke-unitær, angulær frekvens
400



401
402

Formler for generelle n-dimensionelle funktioner[redigér | redigér wikikode]

Funktion Fouriertransformation
unitær, ordinær frekvens
Fouriertransformation
unitær, angulær frekvens
Fouriertransformation
ikke-unitær, angulær frekvens
500



501


502
503
504


Kilder/referencer[redigér | redigér wikikode]

  1. ^ a b c Erdélyi, Arthur, ed. (1954), Tables of Integral Transforms 1, New Your: McGraw-Hill
  2. ^ a b c [Kammler, David (2000), A First Course in Fourier Analysis, Prentice Hall, ISBN 0-13-578782-3]
  3. ^ Campbell, George; Foster, Ronald (1948), Fourier Integrals for Practical Applications, New York: D. Van Nostrand Company, Inc..

Se også[redigér | redigér wikikode]

Henvisning[redigér | redigér wikikode]