Introduktion til kvantemekanik

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
Broom icon.svg Denne side virker ikke som en encyklopædisk artikel
 Du kan se hvad Wikipedia er og ikke er og hjælpe ved at omskrive den til en konkret og dokumenteret beskrivelse af fakta.
Searchtool.svg Denne artikel bør gennemlæses af en person med fagkendskab for at sikre den faglige korrekthed.
Kvantemekanik
Introduktion

 • Ordliste  • Historie

Når nogen begynder at læse en introduktion til kvantemekanik forventer de nok at forstå emnet på et elementært niveau efter de har læst introduktionen. Det mål koster noget i akkuratesse og detaljer.

Det er nok bedst at starte med et citat fra Richard Feynman, som i 1999 blev valgt ved en afstemning mellem 130 eminente videnskabsmænd til at være en af de 10 største fysikere nogensinde.[1][2]

Hvis man tror man forstår kvantefysik så har man ikke forstået noget af det.

Det grundlæggende for kvanteteorien er erkendelsen af at alt i vores verden er lavet af atomer og alt vi observerer indenfor kemien, optikken og biologien etc. stammer fra atomers ydre egenskaber. (Feynman i fri gengivelse). Kemi, optik og biologi er derfor kun avanceret fysik.

For at fokusere introduktionen behandles kun partiklerne elektroner og fotoner (lys generaliseret til alle bølgelængder) og det tomme rum.

Derved holder vi os også inden for Kvanteelektrodynamikken (forkortet QED), som er den nuværende teori for elektromagnetisk interaktion mellem elektrisk ladningsbærende partikler og fotoner. Lignende principper gælder for alle partikler.

Det tomme rum[redigér | redigér wikikode]

Uddybende Uddybende artikel: Det tomme rum

Det vigtigste at forstå er det tomme rum (vakuum). Det er nemlig ikke tomt selv om vi tømmer det for partikler og afskærmer alle felter vi kan afskærme (altså elektromagnetiske felter). Det er fuldt af virtuelle partikler; fx virtuelle elektroner, virtuelle positroner og virtuelle fotoner. De skabes spontant i vakuummet og deres levetid er bestemt af hvor meget energi, der gik til at skabe dem. Jo mere energi, der gik til, jo kortere er deres levetid.[3][4][5] Vakuummet har også en egenskab der hedder tid og rum, rumdimensionen bliver justeret i forhold til tidsdimensionen således at lysets hastighed altid er konstant.

De virtuelle partikler skabes i par, hvilket bevarer den totale impuls (bevægelsesmængde) og elektriske ladning i rummet.

Eksempler:

  • Der skabes således et par, der består af en elektron som er negativt ladet - og en positron, der er positivt ladet (samlet ladning = nul) og de bevæger sig i modsat retning (samlet impuls = nul) og med modsat kvantemekanisk spin.
  • Fotoner har ingen ladning, så de bevæger sig bare i modsat retning af hinanden (samlet impuls = nul) med modsat polarisering.

I en meget større forstørrelse ligner vakuummet ifølge John Wheeler og andre et sydende og boblende rum-tids skum. Der arbejdes på at finde matematiske modeller for vakuummet og vi må erkende at det er nødvendigt at lære meget mere.

Partikel bølger[redigér | redigér wikikode]

Uddybende Uddybende artikel: Partikel-bølge dualitet

Elektroner (og alle andre partikler inkl. fotoner) bevæger sig omgivet af en bølge, der ved sin udstrækning og form helt definerer elektronens tilstand. Tidligere talte man om en partikel-bølge dualitet, inspireret af Niels Bohrs fortolkninger. Men i dag mener man at det ikke er en dualitet. Det er ikke klassiske partikler og klassiske bølger der er tale om, det er noget andet.

Bølgerne er ansvarlig for de kvantiserede egenskaber der observeres. Dette forklares ved bølgeligningens egenskaber, idet det er en såkaldt egenværdi ligning, generelt med flere egenværdier. Til egenværdierne hører en egenfunktion (bølgen) der får en form, dikteret af den potentielle energi der omgiver bølgen. Hver egenværdi er et energiniveau. (Potentiel energi betyder blot, at der er kræfter fordelt over rummet)

Den første bølgeligning blev gættet af Erwin Schrödinger og er ikke relativistisk. Den tidsuafhængige del kan skrives H Y(r) = E Y(r), hvor H er en operator som indeholder en kinetisk energi operator plus den potentielle energi og E er en energi-egenværdi. Y(r) er bølgefunktionen en kompleks funktion, som er en funktion af stedet (angivet ved r) for én partikel. Men hvad er bølgen en bølge i eller af? Man vedtog, at amplituden af bølgen kvadreret angav en sandsynlighedstæthed for hvor partiklen befandt sig. Bølgen indeholder al ikke relativistisk information om partiklen. Denne ligning kan anvendes inden for det meste af kemien og biologien og andre steder, hvor der ikke er behov for at behandle kvantemekanisk spin. Bølgeligningen blev siden udledt fra mere fundamentale principper.[6]

Årsagen til, at man anvender amplituder og ikke sandsynligheder er, at sandsynligheder og amplituder kombineres forskelligt. Amplituder er vektorer med en vinkel (retning) og en størrelse. Amplituden for at A sker og B sker, er produktet af amplituderne - medens amplituden for at A eller B sker, er summen af amplituderne. Fx deles en vej op i afsnit, så skal amplituderne for hvert afsnit multipliceres for at få amplituden for den samlede strækning.

Schrödingers bølgeligning indeholder også en tidsafhængig del. Dette er meget vigtigt at forstå. Når bølgen bevæger sig, har den er frekvens, der afhænger af partiklens masse og hastighed. Bølgens frekvens er altså bestemt af partiklens energi. Man kan forestille sig en viser (faktisk en vektor der indikerer bølgens fase), der snurrer rundt medens partiklen bevæger sig fremad. Jo højere bølgens energi er, jo højere er rotations hastigheden. Viserens længde er bølgens amplitude.

Man kan forestille sig, hvorledes en elektron kan blive påvirket af de virtuelle partikler. Partikler vekselvirker ved, at de udveksler virtuelle partikler ifølge QED.[7]

Paul Dirac gættede en relativistisk bølgeligning på basis af en relativistisk energi-ligning. Af denne bølgefunktion fremgik, at elektroner har kvantemekanisk spin, en magnetiske dipol. Kvantemekanisk spin er en kvantemekanisk-version af impulsmomentet for roterende klassiske objekter; men elektronen roterer ikke, en partikel der roterer i det tomme rum, ville med tiden stoppe og det gør elektronen ikke [8].

Desuden fremgik det, at elektroner bevæger med det der hedder en zitterbewegung - faktisk i en slags spiral, hvori elektronen bevæger sig med lysets hastighed (uden relation til dens klassiske hastighed). Beregning i QED synes at bekræfte at både spin og zitterbewegung, er skabt af virtuelle partikler. Spin kan måles, medes Zitterbewegung ikke er blevet verificeret (endnu) [9]. (note: ZB synes at drives af en tilstedeværelse af både positiv og negativ energi, Virtuelle partikler findes med både positiv og negativ energi)

Superposition[redigér | redigér wikikode]

Uddybende Uddybende artikel: Kvantemekanisk superposition

Elektroner (og andre partikler) har den egenskab, at de kan befinde sig i flere tilstande samtidigt. Fx kan en elektron befinde sig to forskellige steder samtidigt eller have både et spin i retning op og i retning ned samtidigt. Dette kaldes superposition.

Giver vi fx en partikel chancen for at tage to forskellige veje fx med 50% sandsynlighed, så vil det se ud som om partiklen går begge veje samtidigt. Dog med den begrænsning, at man ikke kan måle dette direkte.

Hvis de to partikler i superposition (som kun er én partikel!) mødes igen, opstår der interferensfænomener fra partiklens "splittede" bølgefunktioner (dobbeltspalte-eksperiment). Det opstår ved at bølgernes faser (det der med den roterende viser) er forskellige afhængig af hvilken strækning, de har tilbagelagt. Når viserne peger i modsat retning, er bølgens amplitude nul - medens peger de i samme retning, er amplituden dobbelt så stor. Viserne adderes ved at lægge den ene i forlængelse af den anden og måle retningen og længden fra roden af den første viser til spidsen af den anden der er lagt i forlængelse af den første.

Forsøger man at måle om partiklen i "virkeligheden" gik ad den ene vej eller den anden, så forsvinder interferensen.[10] I et meget morsomt forsøg har man målt at en partikel i superposition kan skabe en frekvens, som er differensen mellem partiklens to manifestationers bølgefrekvenser. Det kræver at den ene version af partiklen befinder sig lavere i et tyngdefelt end den anden således, at tiden går langsommere end for den øverste partikel bølgefunktionsdel og at begge partikelbølgefunktionsdele bevæger sig med nær den samme hastighed.[11][12]

Man skal ikke forstå superposition således, at der virkelig opstår to partikler ud af en. Det er ikke muligt at skabe fx en ekstra elektrisk ladning, ifølge Einstein er bevarelse af ladning en lokal egenskab, og en ekstra masse ville koste enorm energi.

Sammenfiltring[redigér | redigér wikikode]

Uddybende Uddybende artikel: Kvantemekanisk sammenfiltring

Dette fænomen er det centrale i kvanteteorien ifølge Schrödinger. Denne aller vigtigste egenskab af kvanteteorien, er beskrevet i EPR-paradokset; Einstein, Podolsky og Rosenfelts mislykkede forsøg på at bevise, at kvantefysikken ikke var en komplet beskrivelse af naturen.

To sammenfiltrede (Engelsk: Entanglet) partikler eller grupper af partikler har fået blandet deres bølgefunktioner sammen, således at de hver især har fået noget af den andens egenskab. Det behøver ikke at ske 100% men kan også ske delvist. Forskellige partikler kan sammenfiltres; fx to forskellige slags atomer.[13]

Sammenfiltrede partikler regnes som en ny partikel, som så kan sammenfiltres med endnu en anden. (fx cooper par, som menes at skabe superledning. Har man nogle elektroner a,b,c,d,e,f,g,h kan de sammenfiltres til cooper par ab, cd, ef, gh og disse par kan sammenfiltres igen til (ab)(cd) , (ef)(gh) og igen til ((ab)(cd)) ( (ef)(gh))). Sammenfiltring kan kun foregå lokalt. Man kan ikke sammenfiltre to partikler, der ikke er i nærheden af hinanden.

Sammenfiltrer man en mere partikel med den ene partikel af et sammenfiltrer par, så kan man foretage en teleportation af den nye partikels egenskab. Der er tale om en teleportation af information, ikke af partiklen.[14]

Elektroner kan fx sammenfiltres, så deres spin er i modsat retning. Hvis man måler den ene elektrons spin i en vilkårlig retning får man en "op eller ned værdi" (i retningen) med 50% sandsynlighed. Samtidigt vil den anden elektron give den modsatte "op eller ned værdi" ved en måling. Samtidigt, hvad enten den befinder sig i en anden galakse eller 5 meter væk i laboratoriet. Der er altså åbenbart en usynlig forbindelse mellem de to sammenfiltrede elektroner. Tilsyneladende sker der en momentan overførsel af noget med en hastighed hurtigere end lysets, hvad ikke er muligt ifølge relativitetsteorien. Dette er kvanteteoriens mest centrale egenskab.

Ifølge Bells theorem er det ikke muligt at skabe en teori med lokale skjulte variable med de samme egenskaber, som dem man observerer.

På en måde virker det som om, at det der i relativitetsteorien kaldes et ormehul (foreslået af Einstein og Rosenfelt (ER) ) er relateret til det der forbinder sammenfiltrede partikler (Af Einstein kaldet spooky connection). Dette blev foreslået af Juan Maldacena altså ER = EPR. Man kan forestille sig at smide den ene part af et sammenfiltret par ind i et sort hul og den anden part ind i et andet sort hul. Gør man det for tilstrækkeligt mange par, så opstår der måske et ormehul mellem de to sorte huller. Det virker også som om sammenfiltring er ansvarlig for rummets opbygning.[15][16][17]

Hvis man skal forklare observationerne, må man bryde med et eller flere meget fundamentale principper. Fx da årsag og virkning sker (næsten?) samtidigt, så kan man ved at bevæge sig relativt til partiklerne observere, at virkning sker før årsag. Mere problemetisk er, at der tilsyneladende sker en slags informations overførsel med en hastighed højere end lysets. Uden at fænomenet dog kan bruges til at overføre anden information.

Bell selv foreslog begrebet superdeterminisme, hvor alt i universet er forudbestemt, som en forklaring. Ormehuller synes meget mere attraktive forklaringsmæssigt.

Kvanteelektrodynamik; QED[redigér | redigér wikikode]

Uddybende Uddybende artikel: Kvanteelektrodynamik

QED er utrolig let at forstå, men svær at bruge i praksis. Teorien er den mest nøjagtige fysiske teori vi har, både med hensyn til teoriens forudsigelser og med hensyn til de tilsvarende målinger, der er udført.

I den klassiske partikel teori beregner man en partikels bane ved at optimere (fx minimere) en såkaldt aktion. Det er integralet (en sum) af det der hedder Lagrangen (sædvanligvis differensen mellem kinetisk energi og potentiel energi udtrykt i vilkårlige generelle koordinater og deres tidsafledede). Lagrangen summeres hen over en vej fra et punkt a til et punkt b. Integralet (summen) optimeres ved at finde den vej der giver den stationære værdi (fx minimum værdi).

Dette optimerings problem resulterer i to differentialligninger ( Euler-Lagrange-ligning), hvormed man ved løsning kan finde den vej partiklen vil tage. Hamilton frembragte en anden version, som sædvanligvis er summen af kinetisk energi og potentiel energi. Sammen med lagrangen får man så differentialligninger, der er letttere at løse.

Inden for kvantemekanikken bruger man Hamiltons version, som her er bedre egnet. Ved anvendelse indenfor kvanteteorien omdannes den kinetiske energien til en operator. (note: en operator er matematisk en linear afbildning/funktion], enhver linear funktion kan repræsenteres ved en matrix )

For QED fandt Richard Feynman et sti-integrale (Engelsk: Path integral), som er summen af alle mulig veje en partikel kan tage, for at komme fra punkt a til punkt b. Altså ikke en optimering af en aktion. Det der summeres ved målet, er faser og amplituder (altså amplituder har faser). Antagelsen er altså at en partikel udforsker alle mulig veje, lige fra den lige linje til vejen over nabogalaksen Andromeda. Man summerer alle derved opståede faser og amplituder for at finde frem til sandsynligheden for at ankomme til punkt b til en tid T. Sti-integralet er smukt symmetrisk i rum og tid.[18]

Dirac startede på denne ide, men det var først Feynman, der forstod den fulde betydning af ideen. Det er ikke lykkedes at bevise at sti-integrale ideen, er korrekt endnu; men alle er overbevist om, at det nok skal lykkes engang. Teorien giver de rigtige resultater med 12-16 betydende cifres nøjagtighed.

Det elektromagnetiske felt er repræsenteret ved en vekselvirkning mellem virtuelle fotoner og partikler.

Når en partikel bevæger sig, sker der en vekselvirkninger med virtuelle og reelle partikler (fotoner og andre elektroner). En foton bliver absorberet og senere udsendt igen eller den bliver udvekslet med en anden elektron. Man kan tegne et diagram af denne proces. Det tegnes med konventionen, at tiden skrider fremad opad i diagrammet og rummer er repræsenteret vandret, ingen af dem kalibreret (der er dog undtagelser). Fotoner er repræsenteret ved bølgende streger og partikler ved rette linjer. Man knækker linjerne, hvor der er vekselvirkninger.

Feynman-diagram eksempel: En gamma-foton (bølget kurve) (nederst) bliver til en elektron og en positron. (Kvantemekanisk proces: Pardannelse)

Dette kaldes et Feynman-diagram. Det mest simple Feynman-diagram er en ret linje fra et punkt a til et punkt b. Linjen symboliserer, at en partikel bevæger sig fra et punkt a til et andet punkt b. Man kan beregne amplituden for at dette sker.

Feynman-diagram eksempel:
1.(venstre) En elektron bevæger sig mod højre.
2.(midt) Elektronen bliver til en elektron og en foton (bølget kurve).
3.(midt) Elektronen absorberer fotonen og fortsætter mod højre.
4.(højre) Elektronen fortsætter mod højre.

Eksempel:

  • En partikel skal bevæge sig fra punkt a til b.
  • Undervejs udsender den en foton i punktet d. Dette ændrer elektronens masse og derfor den rotationshastighed dens amplitude vektor har. Amplituden for at dette kan ske er c. (sandsynligheden er c2)
  • Senere absorberes fotonen igen af partiklen i punktet e. Dette ændrer elektronens masse igen og derfor den rotationshastighed dens vektor har. Amplituden for at dette kan ske er c. (sandsynligheden er c 2)

Man kan beregne amplituden for at partiklen ankommer til punktet d fra punktet a og alle andre delstrækninger. Amplituden for at fotonen udsendes og fotonens amplitude for at ankomme i punktet e og for at blive absorberet. Indtil partiklen kommer til punktet b.

Dette skal så varieres således at punkterne d og e er placeret i alle mulige positioner. Alt summeres.

Dette Feynman-diagram er det næstsimpleste.

Diagrammerne bliver mere og mere komplicerede. Fotonerne kan udsende fotoner, der så absorberes igen og fotoner kan udveksles med andre partikler etc. Jo flere Feynman-diagrammer man tegner jo nøjagtigere kan beregningen, som er en rækkeudvikling, blive.

Da man beregnede finstrukturkonstanten i 2012 brugte man 12672 Feynman diagrammer for at få en god værdi af c 2= α som ofte angives ved sin reciprokke værdi α−1 = 137, 035 999 173 (35).

Dette er jo ikke særligt effektivt. Heldigvis er der simplifikationer af denne proces - og flere på vej. Men der er faktisk større problemer med QED. De serier man prøver at beregne er ofte divergente. Det er meget betænkeligt for teoriens konsistens. Man anvender noget man kalder for renormalisering for at overkomme disse uendeligheder. Feynman kunne ikke lide metoden (Feynman, matematikeren Julian Schwinger og fysikeren Sin-Itiro Tomonaga fik Nobelprisen trods dette). Dirac kunne ikke lide den - men resultaterne er korrekte. Der er nok ingen tvivl om, at der er noget galt med matematikken.

Et eksempel på problemet er, at den effektive masse som fremkommer ved alle massekorrektionerne er m eff = m + α (uendeligt) + α 2 (uendeligt) + ... er uendelig, men tydeligt er den ikke det. Den masse man starter med, skal være negativ uendelig for at kompensere for problemet således, at den effektive masse er det rigtige tal.

Stærkt værktøj: Matematik[redigér | redigér wikikode]

Fysikkens modellering og modellering af naturens sprog er matematik. Når man beskriver noget med ord synes der altid at være noget upræcist og det er ikke særligt anvendelig til at udlede nye erkendelsen med. Matematik er derfor en nødvendighed.

Hvis man vil prøve at forstå matematikanvendelsen, så skal man forstå/vide, at ting er hvad man kan gøre med dem. Intet andet. INTET. Det er altid det første man skal have at vide når man lærer matematik. Hvad kan man gøre med det her? Det gælder forresten også i fysikken. De strukturer der skabes indenfor matematikken gives en fysik fortolkning i håb om at fysikken dermed beskrives fuldstændigt og korrekt.

Et vigtigt koncept i matematikken er vektorer. Vektorer defineres altså ved hvad man kan gøre med dem. Man kan addere dem indbyrdes og gange med en konstant og de bliver stadig ved med at være samme slags vektor. Der findes et nul element således at v+0 = v for en vilkårlig vektor og det er i store træk det. Sådant noget kaldes et vektorrum.

Den kloge vil jo straks sige: Jamen der er jo masser af ting man kan addere indbyrdes og gange med en konstant og som stadig er det de er? Ja, og så er de vektorer per definition. Fx funktioner (kontinuerte eller differentiable), polynomier, differentialoperatorer, masser af ting. For funktioner gælder det fx at summen af to differentiable funktioner er stadig en differentiable funktion og ganger man med en konstant er det stadig en differentiabel funktion, altså er differentiable funktioner vektorer.

Som man måske bemærkede, så blev det ikke defineret, at man kan gange vektorer. Det kan man tilføje. David Hilbert den nok største matematiker i begyndelsen af det forrige århundrede fandt på noget, der hedder et Hilbertrum. Det er et vektorrum med en gangefunktion, som giver et afstandsmål.

Kvadratet på længden af en vektor er V 2 . Det tilsvarende for en kompleks funktion af x er kvadratet på afstandsmålet (længden af funktionen i Hilbertrummet)

Integreret over et interval.

Altså produktet af funktionen med sin egen komplekse konjugerede integreret. Funktioner der kan integreres således, er meget anvendelige i fysikken. Hilbertrummet skal være komplet. Hvis produktet af to funktioner er nul, siges de at være ortogonale (vinkelrette på hinanden).

Dirac fandt på, at siden det var helt ligegyldigt, om der var tale om en virkelig vektor eller en funktion, så kunne man bare skrive ket-vektoren for objektet. Det var så hvad det var, fx en søjlevektor eller en funktion eller.... Den konjugerede og transponerede af dette er bra-vektoren , søjlevektoren er blevet til en række vektor, de komplekse tal i vektoren er blevet konjugerede (= fortegnet til den imaginære enhed er skiftet). Tilsammen danner bra og ket vektorerne en BRA-KET.

Et simpelt anvendelseseksempel kan være spin. Ket vektoren repræsenterer her kun spin - ikke en hel bølgefunktion. En vilkårlig spin tilstand kan skrives:

, hvilket er en superposition af at være "op og ned".

Faktoren foran er en normaliseringsfaktor, som skal sikre at den totale sandsynlighed bliver 1. Når der foretages en måling, ganges der med en operator (her matrix) og til sidst med bra-vektoren. Amplituden for at finde spin "op" er:

hvilket giver sandsynligheden 1/2 = 50%.

De to ket vektorer er ortogonale basisvektorer og man kan vælge dem vilkårligt, bare de er ortogonale og af længde en. Fx

og

De er ortogonale, fordi det indre produkt af vektorerne er nul og desuden er længden en.

Hvis der skal måles i en anden retning fx horisontalt, så finder man en matrix, der passer fx

og amplituden for at måle er

Mere avanceret:

Har vi en partikel i en tilstand (position) og skal finde sandsynligheden for, at den fremkommer i tilstand (position) , så skal vi først transportere den i det tomme rum, det gør vi således, ved at gange med en unitær operator:

normalt anvender man q som en positions koordinat

Den imaginære enhed er i og i 2 =-1, H er vores kære Hamiltonian og T er tiden. Hamiltonian for en fri partikel er , hvor p hat er impuls operatoren og m massen af partiklen.

Amplituden for at vi kommer i tilstanden b er:

Denne metode er komplet generel inden for kvanteteorien. En tilstand ganges med en operator der kaldes en observabel og til sidst projekteres på den tilstand man skal opnå.

Sti-integralet er repræsenteret ved:

betyder integralet over alle stier. er den kinetiske energi. Det skal siges at hvis der ikke er tale om en fri partikel og der derfor adderes en potentiel energi til H så ender resultatet med at indeholde den kinetiske energi minus den potentielle energi hvilket er Lagrangen.[18]

Kilder/referencer[redigér | redigér wikikode]

  1. ^ caltech.edu: Physics World poll names Richard Feynman one of 10 greatest physicists of all time Citat: "...The poll surveyed 130 leading physicists worldwide..."As far as I'm concerned, you don't place great people in order," Christy says. "Certain physicists are in a class by themselves, and certainly all of these in the list are in that class."..."
  2. ^ BBC news: Einstein the greatest Citat: "... The survey was conducted among 100 of today's leading physicists...7. Richard Feynman...A parallel survey of rank-and-file physicists by the site PhysicsWeb gave the top spot to Newton and also included Michael Faraday..."
  3. ^ icr.org: A Universe from Nothing? by Jake Hebert, Ph.D. Citat: "...However, the effects of these virtual particles can be detected; they are, for instance, responsible for a very subtle effect on the spectrum of the hydrogen atom called the “Lamb shift.”...The HUP places a limit on the time that a quantum fluctuation can persist. The greater the energy of the fluctuation, the shorter the time that it may last. It is for this reason that virtual particles appear and then disappear after very short intervals..."
  4. ^ Particle description of zero energy vacuum I http://arxiv.org/pdf/hep-th/0106224v1.pdf
  5. ^ Particle description of zero energy vacuum II http://arxiv.org/pdf/hep-th/0106229.pdf
  6. ^ How to Derive the Schrödinger Equation http://arxiv.org/pdf/physics/0610121.pdf
  7. ^ Franz Schwabl (2007). "§ 3.1.3: The zero-point energy". Quantum Mechanics (4th ed.). Springer. p. 54. ISBN 3-540-71932-6.
  8. ^ Physical Review A, DOI: 10.1103/PhysRevA.82.063827
  9. ^ http://arxiv.org/pdf/1404.6187.pdf
  10. ^ 15 February 2007, Physics web: Photons denied a glimpse of their observer, Illustration af Roch's eksperimentopstilling Citat: "...they could confirm with certainty that unobserved photons behave like waves (i.e. interfere), while observed photons behave like particles (i.e. do not interfere)..."
  11. ^ Adgang kræver abonnement/betaling: Observation of Gravitationally Induced Quantum Interference, R. Colella, A. W. Overhauser, and S. A. Werner. Phys. Rev. Lett. 34, 1472 – Published 9 June 1975. Citat: "...We have used a neutron Interferometer to observe the quantum-mechanical phase shift of neutrons caused by their interactions with Earth's gravitational field..."
  12. ^ arxiv.org, November 7, 2012: General relativistic effects in quantum interference of photons Citat: "...Probing the effect of gravitational time dilation on quantum interfering particles is a promising path towards fundamental tests of the overlap between quantum mechanics and general relativity. Here we discussed a quantum optics realization of this general idea, where a single photon travels in a superposition along the two paths of a Mach-Zehnder interferometer placed in the gravitational field. The gravitational time dilation between the two paths will cause the lower part of the superposition to be delayed as compared to the upper one, leading to a loss of interference. For a total loss of interference a large-scale interferometer is required, which can be within reach in the near future...The observation of general relativistic time dilation for quantum interferring photons would represent an experimental test of the overlap between general relativity and quantum mechanics and would constitute a first step towards more advanced tests of the interplay between the two theories..."
  13. ^ NIST Team Proves ‘Spooky Action at a Distance’ is Really Real
  14. ^ Optica Vol. 2, Issue 10, page 832. DOI: 10.1364/OPTICA.2.000832
  15. ^ December 5, 2013, news.mit.edu: You can’t get entangled without a wormhole. MIT physicist finds the creation of entanglement simultaneously gives rise to a wormhole Citat: "...Now an MIT physicist has found that, looked at through the lens of string theory, the creation of two entangled quarks — the building blocks of matter — simultaneously gives rise to a wormhole connecting the pair..."
  16. ^ December 11, 2013, scientificamerican.com: Physicists Find a Link between Wormholes and Spooky Action at a Distance
  17. ^ 11 Jul 2013, arxiv.org: Cool horizons for entangled black holes. Juan Maldacena and Leonard Susskind Citat: "...Here we will note that these two effects are actually connected. We argue that the Einstein Rosen bridge between two black holes is created by EPR-like correlations between the microstates of the two black holes. This is based on previous observations in [6, 10]. We call this the ER = EPR relation..."
  18. ^ a b Path Integrals in Quantum Mechanics http://web.mit.edu/dvp/www/Work/8.06/dvp-8.06-paper.pdf