Invers funktion

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning

I matematikken er en invers funktion simpelthen en funktion der gør det modsatte af en given funktion.

Notation og definition[redigér | redigér wikikode]

Ved hjælp af sammensatte funktioner skal der for den inverse funktion gælde at af funktionen og af funktionen :

De to funktioner ophæver således hinanden og kaldes derfor hinandens inverse. Grafisk spejles de to om linjen .

Den hævede tekst "-1" er ikke en eksponent. Tilsvarende betyder f ²(x) normalt ikke kvadratet på f(x), men derimod f gjort to gange: f(f(x)). Undtagelser fra dette er der i trigonometrien, hvor sin²(x) sædvandligvis betyder kvadratet på sin(x). For at vise den inverse funktion bruger man derfor ofte forstavelsen arc. I infinitesimalregningen angiver n i f n typisk den n'te afledte af f.

Et eksempel på en funktion og dens inverse er eksponentialfunktionen og logaritmefunktionen:

og

Egenskaber[redigér | redigér wikikode]

  • Når en invers funktion eksisterer er den unik
  • , for alle reelle x

Metode[redigér | redigér wikikode]

Har man for eksempel en funktion som er forskriften på en parabel og ønsker at finde den inverse funktion kan man ombytte x og y i forskriften hvilket giver og derefter løse ligningen for y, (isolere y) løsningerne bliver

Der er altså to løsninger, men kun den ene kan anvendes, det skyldes at spejler man parablen i linien y=x (for at få den inverse funktion) får man to værdier af y for hvert x værdi og det er så ikke en funktion, man må vælge hvilken en af løsningerne man kan bruge. Altså hvilken gren af parablen man skal bruge. Parablen her bliver skåret i to dele af parablens minimum punkt.

Tænker man sig som eksempel en trediegrads ligning vil man få tre løsninger og man må bestemme sig for hvilken af de tre forskrifter man skal vælge, Hver af de tre modsvarer et lille stykke af funktionen,Funktionens graf er delt af de to extrema i tre dele.