Kommutator (matematik)

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning
Disambig bordered fade.svg Angående en elektrisk omskifter som periodisk vender strømmens retning, se kommutator
Disambig bordered fade.svg For alternative betydninger, se Kommutator. (Se også artikler, som begynder med Kommutator)

I matematik indikerer kommutatoren hvor dårligt en bestemt binær operation kommuterer. Der anvendes forskellige definitioner i gruppeteori og ringteori.

Gruppeteori[redigér | redigér wikikode]

Kommutatoren af to elementer g og h i en gruppe G er elementet

[g, h] = g−1h−1gh

Den er lig med gruppens identitet hvis og kun hvis g og h kommuterer (dvs. hvis og kun hvis gh = hg).

N.B. Nogle steder vælges kommutatoren at defineres som

[g, h] = ghg−1h−1

Identiteter[redigér | redigér wikikode]

I det følgende angiver ax det x-konjugerede element x−1a x.

  • [y,x] = [x,y] −1
  • [[x,y−1],z] y [[y,z−1],x] z [[z,x−1],y]x = 1
  • [xy,z] = [x,z]y [y,z]
  • [x,yz] = [x,z] [x,y]z

Den anden identitet er også kendt under navnet Hall-Witt identiteten. Den er en gruppe-teoretisk analog af Jacobi-identiteten for den ring-teoretiske kommutator (se næste sektion).

Ringteori[redigér | redigér wikikode]

Kommutatoren af to elemeter a og b i en ring eller associativ algebra er defineret ved

[a, b] = abba

Den er nul hvis og kun hvis a og b kommuterer. I lineær algebra haves at hvis to matricer kommuterer i en basis, vil de kommutere i enhver anden basis.

Kommutatoren af to operatorer defineret i et Hilbertrum er et vigtigt koncept i kvantemekanik, da den angiver hvor godt de to målbare størrelser beskrevet af operatorerne kan måles samtidigt. Usikkerhedsprincippet er i bund og grund en sætning om disse kommutatorer.

Ligeledes er antikommutatoren defineret som ab + ba, ofte skrevet { a, b }.

Identiteter[redigér | redigér wikikode]

Kommutatoren har de følgende egenskaber:

Lie-algebra relationer:

  • [A,B] = − [B,A]
  • [A,A] = 0
  • [A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] = 0

Yderligere relationer:

  • [A,BC] = [A,B]C + B[A,C]
  • [AB,C] = A[B,C] + [A,C]B
  • [A,BC] = [AB,C] + [CA,B]
  • [ABC,D] = AB[C,D] + A[B,D]C + [A,D]BC